一、弗洛伊德·沃肖尔算法

Floyd-Warshall算法是图的最短路径算法。与Bellman-Ford算法或Dijkstra算法一样，它计算图中的最短路径。然而，Bellman Ford和Dijkstra都是单源最短路径算法。这意味着他们只计算来自单个源的最短路径。另一方面，Floyd Warshall计算输入图中每对顶点之间的最短距离。

假设你有5个朋友：比利、珍娜、卡西、艾丽莎和哈里。你知道有几条路连接他们的一些房子，你知道这些路的长度。但是，弗洛伊德·沃沙尔可以利用你所知道的，并根据这些信息为你提供最佳路线。例如，看看下面的图表，它显示了从一个朋友到另一个朋友的路径以及相应的距离。

我们初始化解矩阵的第一步与输入图矩阵相同。然后，我们通过将所有顶点视为中间顶点来更新解矩阵。其思想是一个接一个地拾取所有顶点，并更新所有最短路径，其中包括拾取的顶点作为最短路径中的中间顶点。当我们选取顶点数 k 作为中间顶点时，我们已经考虑了顶点{0，1，2，..k-1}作为中间顶点。对于源顶点和目标顶点的每一对(I，j)，都有两种可能的情况。 1) k 在从 I 到 j 的最短路径中不是中间顶点，我们保持 dist[i][j]的值不变。 2) k 是从 I 到 j 的最短路径中的中间顶点，我们将 dist[i][j]的值更新为 dist[I][k]+dist[k][j]if dist[I][j]>dist[I][k]+dist[k][j] 下图显示了以上全对最短路径问题中的最优子结构性质。

二、Floyd-Warshall算法的应用

1、最短距离

弗洛伊德·沃沙尔将告诉每对朋友之间的最佳距离。它将清楚地告诉您，从Alyssa的房子到Harry的房子的最快路径是连接边，其权重为1。但是，它也会告诉你，从比利家到珍娜家的最快方式是先经过卡西家，然后是艾丽莎家，然后是哈利家，最后才到珍娜家。这就是弗洛伊德·华肖的力量；无论你现在在哪所房子，它都会告诉你去其他房子的最快方式。

Floyd-Warshall算法是动态规划的一个例子。它将问题分解为较小的子问题，然后将这些子问题的答案结合起来，以解决较大的初始问题。想法是这样的：要么从A到C的最快路径是从A到C的最快路径，要么是从A到B的最快路径加上从B到C的最快路径。

Floyd Warshall在网络方面非常有用，类似于最短路径问题的解决方案。但是，它在管理路线上的多个站点时更有效，因为它可以计算所有相关节点之间的最短路径。事实上，Floyd Warshall的一次运行可以为您提供有关静态网络的所有信息，以优化大多数类型的路径。它在计算矩阵求逆时也很有用。

2、求解离散数学中传递闭包

离散数学中传递闭包怎么求？传递闭包的求法就是：通过反复求矩阵的幂，直到结果不在变化为止！可以选择用warshall法，不断的运行，直到MR[n][i],MR[i][n]都为1时使得MR[i][j]为1，不然的话还是要继续不断的运行，直到结果MR[n][i],MR[i][n]都为1时使得MR[i][j]为1就停止。

在这个式子中，a数组中为布尔数组，主要是用来描述两个节点是不是出于一个相连的地位上，可以看出做这样一个无权图的邻接矩阵，在算法过程中是和Floyd相当相似，而且三重循环的话是需要列出中间的每一个节点，不过对于传递闭包而言的话，只是需要求出两个节点是不是相连，并不用在进一步的求解两个线路中间的最短路径了。

传递闭包最为简单的技术就是选择采用弗洛伊德算法，选择用Floyd-Warshall算法能够最简便的解决任意两点之间最简单的路径中的一个算法，而且还可以这个却的出力有向图或者负权。

时间复杂度: O(V^3) 上面的程序只打印最短的距离。我们还可以通过将前置信息存储在单独的 2D 矩阵中来修改解决方案以打印最短路径。 同样，INF 的值可以从 limits.h 取为 INT_MAX，以确保我们处理最大可能值。当我们取 INF 为 INT_MAX 时，需要改变上述程序中的 if 条件，以避免算术溢出。

三、算法思路

1、算法所要解决的问题称为多源最短路径问题，算法完成后可求出任意两点之间的最短路径，所以既然他这么简单，那么这五行码有什么意义？

A和 B的直接距离是6，那么我们该如何缩小它们之间的距离？

其算法的具体思想如下：一想，我只经过 C这个点的中转就可以让

2、相邻矩阵 dist存储路径，而最终状态表示点的最短路径。若没有直接关联的点，默认值为一个非常大的值(不要溢出)！并且自身的长度是0。

将从1到 n点依次添加到图中。每一点都加入以测试是否有路径长度被改变。

并以图中每个点(i, j两次循环)为例，判断每个点对距离是否因所加入的点而变化最小。若有变化，则两点(i、 j)距离将改变。

非常简单，我们只需通过其它点的中转就可以了，这里我们就是 C点，可以让 A和 B之间的距离到达5，然后我再想一想，我只经过 C这个点的中转就可以让他们的距离变小，

为了确定这个周期的最外层循环被用于传递这个周期中的哪个点。即，第一次循环是以一号顶点为中转站，观察是否可以将其他点间的距离减小，第二个循环是在第一个循环的基础。

总结： warshall算法的时间复杂度为 O (n3)，实现简单，适用于处理稠密图与顶点关。

四、实现代码

参考：

C#，图（Graph）的数据结构设计与源代码https://blog.csdn.net/beijinghorn/article/details/125133711?spm=1001.2014.3001.5501

源代码(POWER BY TRUFFER)：

using System;
using System.Text;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{public partial class Graph{public int[,] Floyd_Warshall(){int V = Node_Number;int[,] dist = new int[V, V];for (int i = 0; i < V; i++){for (int j = 0; j < V; j++){dist[i, j] = Matrix[i, j];}}for (int k = 0; k < V; k++){for (int i = 0; i < V; i++){for (int j = 0; j < V; j++){if (dist[i, k] + dist[k, j] < dist[i, j]){dist[i, j] = dist[i, k] + dist[k, j];}}}}return dist;}}public static partial class GraphDrives{public static string Floyd_Warshall(){StringBuilder sb = new StringBuilder();int INF = 99999;int[,] m = { {  0,   5, INF,  10 },{INF,   0,   3, INF },{INF, INF,   0,   1 },{INF, INF, INF,   0 }};Graph g = new Graph(m);g.AdjacencyMatrix();int[,] dist = g.Floyd_Warshall();return Algorithm_Gallery.ToHtml(dist);}}
}