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本文参考：
B站：DR_CAN

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1. 开环系统与闭环系统Open/Closed Loop System

1.1 EG1: 烧水与控温水壶

1.2 EG2: 蓄水与最终水位

$$\dot{h}=\frac{q_{in}}{A}-\frac{gh}{AR}$$
设$A=1$. 目标：$h=x\to x_d$ —— 保持液面高度
$x_d=\frac{CR}{g},C=\frac{x_{d}g}{R}=u,G\left(s\right)=\frac{1}{S+\frac{g}{R}}$

1.3 闭环控制系统

$$X=\frac{DG}{1+HDG}V$$

2. 稳定性分析Stability

2.1 序言

2.2 稳定的分类

2.3 稳定的对象

明确分析对象

$e=Target-\theta$
Does the error converge to zero or not —— error dynamics stable or not

2.4 稳定的系统

Open loop 开环

Closed loop 闭环

EG1：

EG2：

2.5 系统稳定性的讨论

2.6 补充内容——Transfer Function(传递函数) - nonzero Initial Condition(非零初始条件)

3. 燃烧卡路里-系统分析实例

3.1 数学模型

3.2 比例控制 Proprotional Control

4 终值定理和稳态误差Final Value Theorem & Steady State Error

5 比例积分控制器Proportional-Intefral Controller

消除稳态误差——设计新的控制器

6 根轨迹Root locus

6.1 根的作用

$$G\left(s\right)=\frac{s+3}{s^2+2s+4}$$
Matlab可绘制 riocus(g)
掌握根的变化规律 ， 设计控制器，补偿器 ： Compentator Lead Lag…

根 —— 极点

1. 一阶系统
   
2. 二阶系统
   
   
3. 三阶系统
   

6.2 手绘技巧

Matlab可以精确绘制——手绘——掌握根的变化规律——设计控制器

根轨迹的基本形式

根轨迹研究的是： 当$K$从0到$+\infty$时，闭环系统根（极点）位置的变化规律

$$1+KG\left(s\right)=0,G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}=\frac{\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right)\cdots \left(s-z_{\mathrm{m}}\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)\cdots \left(s-p_{\mathrm{n}}\right)}$$

其中，$z_1\cdots z_{\mathrm{m}}$ 为零点 Zeros $\odot$ ， $p_1\cdots p_{\mathrm{n}}$ 为极点 Poles $\times$

规则1 ：共有$n$条根轨迹， 若$n>m$；共有$m$条根轨迹，若$m>n$； ⇐ max ⁡ { m , n } \Leftarrow \max \left\{ m,n \right\} ⇐max{m,n}
规则2 ：若$m=n$，随着$K$从 $0\to \infty$ ， 根轨迹从$G\left(s\right)$的极点向零点移动：$1+KG\left(s\right)=0\Rightarrow D\left(s\right)+KN\left(s\right)=0$ ， $K\to 0$ 时$D\left(s\right)=0$（极点）；$K\to \infty$ 时 $N\left(s\right)=0$ （零点）
规则3：实轴上的根轨迹存在于从右向左第奇数个极点/零点的左边
规则4：若附属跟存在，则一定是共轭的，所以根轨迹通过实轴对称
规则5：若$n>m$ ， 则有$n-m$个极点指向无穷；若$m>n$ ， 则有$m-n$条根轨迹从无穷指向零点
规则6：根轨迹延渐近线移动，渐近线与实轴的交点$\sigma =\frac{\sum p-\sum z}{n-m}$ ，渐近线与实轴的夹角$\theta =\frac{2q+1}{n-m}\pi ,q=0,1,...,n-m-1/m-n-1$

6.3 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质

以 2nd-order system 为例：

Properties of Root locus

7 Lead Compensator超前补偿器（调节根轨迹）

7.1 Plot Rootlocus 绘制根轨迹

$$G\left(s\right)=\frac{1}{s\left(s+2\right)}$$

7.2 System Performance 系统表现

输入Input —— $\delta \left(t\right)$ 单位冲激

• $K$ 较小时，$p_1,p_2$ ：$x\left(t\right)=c_1{e}^{p_{1}t}+c_2{e}^{p_{2}t},p_1<0,p_2<0$
  
• $K$ 较大时，根在复平面：$p_1,p_2$ ：$x\left(t\right)=c{e}^{-t}\sin {\omega }_{\mathrm{n}}t$ - 无论如何改变$K$值，都无法改变收敛速度
  -

7.3 改善/加快收敛速度

——改变根轨迹，希望根在$-2+2\sqrt{3}$
$$G\left(s\right)=\frac{1}{s\left(s+2\right)}$$
在根轨迹上的点满足：$\angle KG\left(s\right)=-\pi$ （零点到根的夹角和 - 极点到根的夹角和）

7.4 超前补偿器 Lead Comperastor

$$H\left(s\right)=\frac{s-z}{s-p},\Vert z\Vert <\Vert p\Vert$$

8 Lag Compensator滞后补偿器

从稳态误差入手（steady state Error）

误差 Error ：$E\left(s\right)=R\left(s\right)-X\left(s\right)=R\left(s\right)-E\left(s\right)\cdot KG\left(s\right)\Rightarrow E\left(s\right)\left(1+KG\left(s\right)\right)=R\left(s\right)\Rightarrow E\left(s\right)=\frac{1}{1+KG\left(s\right)}R\left(s\right)=R\left(s\right)\frac{1}{1+K\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}}=\frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}}$

单位阶跃unit step ：$R\left(s\right)=\frac{1}{s}$
稳态误差Steady State Error——FVT终值定理
$$ess=\underset{t\to \infty }{\lim }e\left(t\right)=\underset{s\to o}{\lim }sE\left(s\right)=\underset{s\to o}{\lim }s\cdot \frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}}=\frac{1}{1+K\frac{N\left(0\right)}{D\left(0\right)}}=\frac{D\left(0\right)}{D\left(0\right)+KN\left(0\right)}$$

9 PID控制器

P —— Proportional
I —— Integral
D —— Derivative

• 当前误差/过去误差/误差的变化趋势
  

1. $K_{\mathrm{p}}\cdot e$：比例增益——当前误差
2. $K_{\mathrm{I}}\cdot \int edt$：积分增益——过去误差-积累
3. $K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}$ ：微分增益——变化趋势 （对噪音敏感）
   $$\mathcal{L}\left[u\right]=\mathcal{L}\left[K_{\mathrm{P}}\cdot e+K_{\mathrm{I}}\cdot \int e\mathrm{d}t+K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}\right]\Rightarrow U\left(s\right)=\left(K_{\mathrm{P}}+K_{\mathrm{I}}\frac{1}{s}+K_{\mathrm{D}}s\right)\cdot E\left(s\right)$$

PID
PD控制：提高稳定性，改善瞬态
PI控制：改善稳态误差

10 奈奎斯特稳定性判据-Nyquist Stability Criterion

Cauchy’s Argument Priciple 柯西幅角原理

结论：$s$平面内顺时针画一条闭合曲线$A$，$B$曲线是$A$通过$F(s)$后在$F(s)$平面上的映射，$A$曲线每包含一个$F(s)$的零点（极点），$B$曲线就绕$(0,0)$点顺时针（逆时针）一圈