非线性方程求根迭代法(C++)

文章目录

  • 问题描述
  • 算法描述
    • 不动点迭代法
      • 一维情形
      • 多维情形
    • 牛顿迭代法
      • 单根情形
      • 重根情形
    • 割线法
    • 抛物线法
    • 逆二次插值法
  • 算法实现
    • 准备工作
    • 一般迭代法
    • 割线法
    • 抛物线法
    • 逆二次插值法
  • 实例分析
    • 例1
    • 例2

迭代法是一种求解非线性方程根的方法, 它通过构造一个迭代过程, 将一个非线性方程转化为一个等价的不动点方程, 然后通过迭代逼近不动点, 从而得到非线性方程的根.

迭代法的基本思想是将隐式方程转化为显式的计算公式, 然后通过迭代, 求方程近似根.

问题描述

已知方程

f ( x ) = 0 \bm f(\bm x)=\bm 0 f(x)=0

R n \mathbb R^n Rn的某个区域 D D D上有根, 求方程的近似解 x \bm x x.

算法描述

迭代法要求将上述方程化为如下形式:

x n + 1 = φ ( x n ) \bm x_{n+1}=\bm\varphi(\bm x_n) xn+1=φ(xn)

则可取 φ \bm\varphi φ为迭代函数. 而迭代函数的构造方式并不是唯一的, 不同算法的构造方式不同, 下面将逐个进行介绍.

不动点迭代法

不动点迭代法是一种求解非线性方程的数值方法, 其基本思想是将原方程变形为关于 x x x的迭代方程, 然后通过不断迭代求解 x x x的值.

一维情形

假设有非线性方程

f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0

则可以通过恒等变形改写为

x = φ ( x ) x=\varphi(x) x=φ(x)

因此, 我们可以得到如下不动点迭代公式:

x n + 1 = φ ( x n ) x_{n+1}=\varphi(x_n) xn+1=φ(xn)

故求解原方程的解就转化为求解函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)的不动点. 设 x 0 x_0 x0为方程的一个近似解, 则利用上述不动点迭代公式即可逼近原方程的解.

多维情形

在一维情形的基础下, 进一步考虑非线性方程组

f ( x ) = 0 \bm f(\bm x)=\bm 0 f(x)=0

和一维情形类似, 可将方程变形为

x = φ ( x ) \bm x=\bm\varphi(\bm x) x=φ(x)

故有高维不动点迭代公式:

x n + 1 = φ ( x n ) \bm x_{n+1}=\bm\varphi(\bm x_n) xn+1=φ(xn)

牛顿迭代法

牛顿迭代法(Newton-Raphson method)是求解方程近似根的一种方法, 其基本思想是利用泰勒公式将方程进行线性化, 然后通过不断迭代, 使得误差逐渐缩小, 最终得到近似解.

单根情形

首先, 将 f ( x ) f(x) f(x) x = x 0 x=x_0 x=x0处进行泰勒展开, 得到

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋯ f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2f′′(x0)(xx0)2+

其中 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) f ′ ′ ( x ) f^{\prime\prime}(x) f′′(x)分别表示 f ( x ) f(x) f(x) x x x处的导数和二阶导数.

e ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) e(x) = \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)} e(x)=f(x)f(x)

则有

e ( x ) = − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) − ( x − x 0 ) − f ′ ′ ( x 0 ) 2 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 − ⋯ e(x) = - \frac{f(x_0)}{f^{\prime}(x_0)} - (x-x_0) - \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2f^{\prime}(x_0)}(x-x_0)^2 - \cdots e(x)=f(x0)f(x0)(xx0)2f(x0)f′′(x0)(xx0)2

因此, 可以通过迭代公式

x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)} xn+1=xnf(xn)f(xn)

不断迭代求解, 直到 e ( x ) e(x) e(x)的值足够小(即达到所需的精度), 即可得到方程的近似解.

值得注意的是, 牛顿迭代法的前提是方程的导数, 即 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x)在所求解的区间内不等于零, 否则会导致方法失效. 此外, 迭代过程中可能会出现震荡或收敛于非解的情况, 此时需要采取适当的策略进行优化和调整.

重根情形

x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的根, 且其重数大于 1 1 1, 此时 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) f ′ ( x 0 ) f^\prime(x_0) f(x0)都为 0 0 0, 这给牛顿法和后面的割线法都带来了问题, 因为在它们的公式分母中都包含导数或其估算值, 当解收敛到离根非常近时, 可能会导致除零错误.

对此, 我们可以令

u ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) u(x)=\frac{f(x)}{f^\prime(x)} u(x)=f(x)f(x)

则可以证明: 若 x 0 x_0 x0为原方程的 m m m重根, 则其为方程

u ( x ) = 0 u(x)=0 u(x)=0

的单根, 从而对 u ( x ) = 0 u(x)=0 u(x)=0应用牛顿迭代法即可.

割线法

f : R → R f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R f:RR, 但函数 f f f的性质不好, 可能在某些地方不可导或导数难以计算. 这时我们就可以利用割线近似切线, 即

f ′ ( x n ) ≈ f ( x n ) − f ( x n − 1 ) x n − x n − 1 f^\prime(x_n)\approx\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} f(xn)xnxn1f(xn)f(xn1)

代入牛顿迭代公式, 就得到了割线法:

x k + 1 = x k − x n − x n − 1 f ( x n ) − f ( x n − 1 ) f ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_k) xk+1=xkf(xn)f(xn1)xnxn1f(xk)

抛物线法

抛物线法又称为米勒法, 是割线法的推广. 割线法是利用前两项构造线性插值, 而抛物线法则是利用前三项构造二次插值, 则我们可以求得如下迭代公式:

x k + 1 = x k − 2 f k ω + s g n ( ω ) ω 2 − 4 f k f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] x_{k+1}=x_k-\frac{2f_k}{\omega+{\rm sgn}(\omega)\sqrt{\omega^2-4f_kf[x_k,x_{k-1},x_{k-2}]}} xk+1=xkω+sgn(ω)ω24fkf[xk,xk1,xk2] 2fk

其中,

ω = f k − f k − 1 x k − x k − 1 + x k − x k − 1 x k − x k − 2 ( f k − f k − 1 x k − x k − 1 − f k − 1 − f k − 2 x k − 1 − x k − 2 ) \omega=\frac{f_k-f_{k-1}}{x_k-x_{k-1}}+\frac{x_k-x_{k-1}}{x_k-x_{k-2}}\left(\frac{f_k-f_{k-1}}{x_k-x_{k-1}}-\frac{f_{k-1}-f_{k-2}}{x_{k-1}-x_{k-2}}\right) ω=xkxk1fkfk1+xkxk2xkxk1(xkxk1fkfk1xk1xk2fk1fk2)

逆二次插值法

在抛物线法中, 当构造的抛物线不与 x x x轴相交时, 可能会收敛到方程的复数根. 这一方面体现了抛物线法的一个优点: 实的初始值迭代求得方程的复数根; 但同时也有可能无法收敛到实数根. 使用逆二次插值法可以解决这个问题.

逆二次插值法又称为反抛物线法, 即使用以 y y y为自变量的抛物线 x = g ( y ) x=g(y) x=g(y)与横轴的交点逼近函数 f ( x ) f(x) f(x)的实根. 可计算得迭代公式如下:

x k + 1 = x k − y k x k − x k − 1 y k − y k − 1 + y k y k − 1 y k − y k − 2 ( x k − x k − 1 y k − y k − 1 − x k − 1 − x k − 2 y k − 1 − y k − 2 ) x_{k+1}=x_k-y_k\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}+\frac{y_ky_{k-1}}{y_k-y_{k-2}}\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}-\frac{x_{k-1}-x_{k-2}}{y_{k-1}-y_{k-2}}\right) xk+1=xkykykyk1xkxk1+ykyk2ykyk1(ykyk1xkxk1yk1yk2xk1xk2)

算法实现

准备工作

由于牵涉到高维问题, 我们首先编写一个向量之间的度量函数:

double distance(const std::vector<double> &x, const std::vector<double> &y)
{size_t n(x.size());if (!n)return 0;if (n != y.size())return NAN;double r(0);auto i = x.cend(), j = y.cend();do{double t(*--i - *--j);r += t *= t;} while (--n);return sqrt(r);
}

由于抛物线法中涉及到符号函数, 另外编写符号函数sgn:

// 符号函数
template <class T>
inline int sgn(const T &x) noexcept
{if (x == 0)return 0;if (x > 0)return 1;return -1;
}

此外, 为了方便用户输入函数, 还要编写一个字符串替换的函数:

/** 替换子串* str   : 要替换的字符串* oldStr: 旧子串* newStr: 新子串* except: 排除的子串*/
std::string &substring_replace(std::string &str, const std::vector<std::string> &oldStr, const std::vector<std::string> &newStr, const std::vector<std::string> &except)
{if (oldStr.empty()){str.clear();return str;}// if(oldStr.size()!=newStr.size())//     if(oldStr.size()>newStr.size())//         oldStr.erase(oldStr.begin()+newStr.size(),oldStr.end());//     else//         newStr.erase(newStr.begin()+oldStr.size(),newStr.end());size_t n(oldStr.size() > newStr.size() ? newStr.size() : oldStr.size());QBitArray a(str.length()); // 这里用了Qt中的QBitArray, 使用bool数组也可以实现其功能for (const auto &i : except){size_t pos(0);while ((pos = str.find(i, pos)) != std::string::npos){a.fill(true, pos, pos + i.length());pos += i.length();}}size_t pos(0);for (size_t k(0); k < n; ++k){const std::string &pre = oldStr[k], &next = newStr[k];F:while ((pos = str.find(pre, pos)) != std::string::npos){size_t i(pre.length()), p(pos);doif (a.at(p++)){pos += pre.length();goto F;}while (--i);QBitArray t(a.size() + next.size() - pre.size());dot.setBit(i, a.at(i));while (++i < pos);p = pos + pre.length();str.replace(pos, pre.length(), next);if (i != (pos += next.length()))dot.setBit(i, false);while (++i != pos);while (p != a.size())t.setBit(i++, a.at(p++));a = t;}}return str;
}

以及浮点向量转字符串向量的函数:

// double向量转string向量
std::vector<std::string> vec_to_string(const std::vector<double> &x)
{std::vector<std::string> y(x.size());auto i = x.cbegin();auto k = y.begin();while (i < x.cend())*k++ = *i++;return y;
}

一般迭代法

为了方便用户输入, 我们首先引入字符串函数计算1:

extern double calStr(string);
extern double calStr_x(string, const double &);
vector<string> func{"sqrt", "sin", "log", "exp", "pow", "abs", "cos", "tan", "asin", "acos", "atan"};

接着实现一般迭代法的单步迭代:

/** 迭代法* current_vec: 迭代向量* func       : 迭代函数* x          : 未知数** 返回(bool):*  true : 迭代失败*  false: 迭代成功*/
bool iterative_method(std::vector<double> &current_vec, const std::vector<std::string> &f, const std::vector<std::string> &x)
{std::vector<double> x0(current_vec);unsigned n(current_vec.size());do{std::string toCal(f[--n]);substring_replace(toCal, x, vec_to_string(current_vec), func);if (isnan(current_vec[n] = calStr(toCal))){current_vec = x0;return true;}} while (n);return false;
}

最终, 实现一般迭代法如下:

/** 迭代法* current_vec: 迭代向量* func       : 迭代函数* x          : 未知数* epsilon    : 迭代终止条件* mid        : 迭代中间结果导出** 返回(bool):*  true : 迭代失败*  false: 迭代成功*/
bool iterative_method(std::vector<double> &current_vec, const std::vector<std::string> &func, const std::vector<std::string> &x, double epsilon, QString &mid) // mid使用了QString, 可以对应转换为std::string或者std::vector<vector<double>>
{for (auto &i : x)mid.append(QString::fromStdString(i)).append(',');*(mid.end() - 1) = '\n';for (auto &i : current_vec)mid.append(QString::number(i, 'g', 14)).append(',');std::vector<double> x0(current_vec), x1(x0);if (iterative_method(current_vec, func, x)){current_vec = x0;return true;}*(mid.end() - 1) = '\n';for (auto &i : current_vec)mid.append(QString::number(i, 'g', 14)).append(',');while (distance(current_vec, x1) >= epsilon){x1 = current_vec;if (iterative_method(current_vec, func, x)){current_vec = x0;return true;}*(mid.end() - 1) = '\n';for (auto &i : current_vec)mid.append(QString::number(i, 'g', 14)).append(',');}mid.chop(1);return false;
}

割线法

/** 割线法* f   : 原方程函数* x1  : 第1个值* x2  : 第2个值* e   : 精度* path: 迭代保存路径*/
void secant_method(const function<double(double)> &f, double x1, double x2, double e = 1e-6, const QString &path = QStandardPaths::writableLocation(QStandardPaths::DesktopLocation))
{QFile file(path);if (!(file.open(QIODevice::WriteOnly)))throw "文件保存失败!";double f1(f(x1)), f2;if (isnan(f1))throw "区间内存在奇点!";file.write((to_string(x1) + '\n' + to_string(x2)).c_str());while (abs(x1 - x2) >= e){if (isnan(f2 = f(x2))){file.close();throw "区间内存在奇点!";}double t = x2 - (x2 - x1) * f2 / (f2 - f1);file.write(('\n' + to_string(t)).c_str());x1 = x2;x2 = t;f1 = f2;}file.close();
}

抛物线法

/** 抛物线法* f   : 原方程函数* x1  : 第1个值* x2  : 第2个值* x3  : 第3个值* e   : 精度* path: 迭代保存路径*/
void parabolic_method(const function<double(double)> &f, double x1, double x2, double x3, double e = 1e-6, const QString &path = QStandardPaths::writableLocation(QStandardPaths::DesktopLocation))
{QFile file(path);if (!(file.open(QIODevice::WriteOnly)))throw "文件保存失败!";double f1(f(x1)), f2(f(x2)), f3, omega0((f2 - f1) / (x2 - x1));if (isnan(f1) || isnan(f2)){file.close();throw "区间内存在奇点!";}file.write((to_string(x1) + '\n' + to_string(x2) + '\n' + to_string(x3)).c_str());while (abs(x1 - x2) >= e){if (isnan(f3 = f(x3))){file.close();throw "区间内存在奇点!";}double omega1 = (f3 - f2) / (x3 - x2), d123 = (omega1 - omega0) / (x3 - x1), omega = omega1 + (x3 - x2) * d123, delta = omega * omega - 4 * f3 * d123;if (delta < 0){file.close();throw "迭代出现复根!";}double t = x3 - 2 * f3 / (omega + sgn(omega) * sqrt(delta));file.write(('\n' + to_string(t)).c_str());x1 = x2;x2 = x3;x3 = t;f1 = f2;f2 = f3;omega0 = omega1;}file.close();
}

逆二次插值法

/** 逆二次插值法* f   : 原方程函数* x1  : 第1个值* x2  : 第2个值* x3  : 第3个值* e   : 精度* path: 迭代保存路径*/
void inverse_quadratic_interpolation(const function<double(double)> &f, double x1, double x2, double x3, double e = 1e-6, const QString &path = QStandardPaths::writableLocation(QStandardPaths::DesktopLocation))
{QFile file(path);if (!(file.open(QIODevice::WriteOnly)))throw "文件保存失败!";double f1(f(x1)), f2(f(x2)), f3, omega0((x2 - x1) / (f2 - f1));if (isnan(f1) || isnan(f2)){file.close();throw "区间内存在奇点!";}file.write((to_string(x1) + '\n' + to_string(x2) + '\n' + to_string(x3)).c_str());while (abs(x1 - x2) >= e){if (isnan(f3 = f(x3))){file.close();throw "区间内存在奇点!";}double omega1 = (x3 - x2) / (f3 - f2), t = x3 - omega1 * f3 + (omega1 - omega0) * f3 * f2 / (f3 - f1);file.write(('\n' + to_string(t)).c_str());x1 = x2;x2 = x3;x3 = t;f1 = f2;f2 = f3;omega0 = omega1;}file.close();
}

实例分析

例1

设有方程 x 3 + 2 x 2 + 10 x − 20 = 0 x^3+2x^2+10x-20=0 x3+2x2+10x20=0.

首先计算出 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 10 f^\prime(x)=3x^2+4x+10 f(x)=3x2+4x+10, 下面我们讨论选取不同初值时Newton迭代法的收敛速度.

分别取 x 0 ∈ { x ∈ Z : − 128 ⩽ x ⩽ 127 } x_0\in\{x\in\mathbb Z:-128\leqslant x\leqslant 127\} x0{xZ:128x127}, 并取终止标准为 ∣ f ( x n ) ∣ < 1 0 − 6 |f(x_n)|<10^{-6} f(xn)<106, 计算得其误差与迭代次数如下所示:


观察可得, 在 x 0 = 1 x_0=1 x0=1附近时迭代次数较少, 收敛较快, 接着在 1 1 1附近取更密集的初值, 计算结果如下所示:


利用卡当公式, 我们可以求得方程有唯一实根

x = − 2 3 − 13 4 3 3 3 3930 + 176 3 + 1 3 6 3930 + 352 3 = 1.36880 ⋯ x=-\frac23-\frac{13\sqrt[3]{4}}{3\sqrt[3]{3\sqrt{3930}+176}}+\frac13\sqrt[3]{6\sqrt{3930}+352}=1.36880\cdots x=323333930 +176 1334 +31363930 +352 =1.36880

可见当初值越靠近根 x x x, 迭代次数越少, 收敛速度越快.

例2

取初值 x 0 = 4 , x 1 = 3.8 x_0=4,x_1=3.8 x0=4,x1=3.8, 求方程 x 3 − 2 x − 5 = 0 x^3-2x-5=0 x32x5=0 [ 1 , 4 ] [1,4] [1,4]上的根.

仍然取终止标准为 ∣ f ( x n ) ∣ < 1 0 − 6 |f(x_n)|<10^{-6} f(xn)<106, 使用Newton迭代法可得误差为 − 1.77636 × 1 0 − 5 -1.77636\times10^{-5} 1.77636×105, 迭代次数为6次; 取终止标准为 ∣ x n + 1 − x n ∣ < 1 0 − 6 |x_{n+1}-x_n|<10^{-6} xn+1xn<106, 使用割线法可得误差为 2.37144 × 1 0 − 13 2.37144\times10^{-13} 2.37144×1013, 迭代次数为8次.


  1. 参见C++实现简单计算器(字符串替换). ↩︎

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Redis有单机模式和集群模式。 集群是 Redis 提供的分布式数据库方案&#xff0c;集群通过分片( sharding )来实现数据共享&#xff0c;并提供复制和故障转移。集群模式可以有多个 master 。使用集群模式可以进一步提升 Redis 性能&#xff0c;分布式部署实现高可用性&#xff…

【Java 干货教程】Java实现分页的几种方式详解

一、前言 无论是自我学习中&#xff0c;还是在工作中&#xff0c;固然会遇到与前端搭配实现分页的功能&#xff0c;发现有几种方式&#xff0c;特此记录一下。 二、实现方式 2.1、分页功能直接交给前端实现 这种情况也是有的&#xff0c;(根据业务场景且仅仅只能用于数据量…

6、C语言:输入与输出

输入输出 标准输入输出getchar&putchar函数printf函数sprintf函数格式化输入——scanf函数 文件访问文件读写 错误处理&#xff1a;stderr和exit行输入和行输出常用函数字符串操作函数字符类别测试和转换函数存储管理函数数学函数随机数发生器函数其他 标准输入输出 getch…

x-cmd pkg | grex - 用于生成正则表达的命令行工具

目录 简介首次用户生成的正则表达式与 perl 和 rust 兼容支持 Unicode 符号友好的用户体验进一步阅读 简介 grex 是一个旨在简化创作正则表达式的复杂且繁琐任务的库和命令行程序。这个项目最初是 Devon Govett 编写的 JavaScript 工具 regexgen 的 Rust 移植。但 regexgen 在…

红酒和果酒推荐

一、红酒 首先&#xff0c;说一下大家常见的几十元红酒和贵的红酒的区别。 1.品牌价值。 2.工艺要求。 3.主要原料优质与否。几十元的红酒&#xff1a; 工艺要求没有高档红酒要求高&#xff0c;另外用的葡萄是榨的汁&#xff0c;品牌价值低&#xff08;目前市场品牌推广的费…

vue组件通信

1. 概述 组件通信, 就是指 组件与组件 之间的数据传递。 注&#xff1a;组件的数据是独立的&#xff0c;无法直接访问其他组件的数据。所以需要了解组件通信 口诀&#xff1a;谁的数据谁处理 2. 组件关系 不同的组件关系包括&#xff1a; 父子关系&#xff08;包含&#xff…