【CSP】2023年12月真题练习（更新到202312-2）

试题编号：	202312-1
试题名称：	仓库规划
时间限制：	1.0s
内存限制：	512.0MB
问题描述：	问题描述西西艾弗岛上共有 n 个仓库，依次编号为 1⋯n。每个仓库均有一个 m 维向量的位置编码，用来表示仓库间的物流运转关系。具体来说，每个仓库 i 均可能有一个上级仓库 j ，满足：仓库 j 位置编码的每一维均大于仓库 i 位置编码的对应元素。比如编码为 (1,1,1) 的仓库可以成为 (0,0,0) 的上级，但不能成为 (0,1,0) 的上级。如果有多个仓库均满足该要求，则选取其中编号最小的仓库作为仓库 i 的上级仓库；如果没有仓库满足条件，则说明仓库 i 是一个物流中心，没有上级仓库。现给定 n 个仓库的位置编码，试计算每个仓库的上级仓库编号。输入格式从标准输入读入数据。输入共 n+1 行。输入的第一行包含两个正整数 n 和 m，分别表示仓库个数和位置编码的维数。接下来 n 行依次输入 n 个仓库的位置编码。其中第 i 行（1≤i≤n）包含 m 个整数，表示仓库 i 的位置编码。输出格式输出到标准输出。输出共 n 行。第 i 行（1≤i≤n）输出一个整数，表示仓库 i 的上级仓库编号；如果仓库 i 没有上级，则第 i 行输出 0。样例输入 4 2 0 0 -1 -1 1 2 0 -1 样例输出 3 1 0 3 样例解释对于仓库 2:(−1,−1) 来说，仓库 1:(0,0) 和仓库 3:(1,2) 均满足上级仓库的编码要求，因此选择编号较小的仓库 1 作为其上级。子任务 50% 的测试数据满足 m=2；全部的测试数据满足 0<m≤10、0<n≤1000，且位置编码中的所有元素均为绝对值不大于 $10^{6}$ 的整数。

编译环境Dev-cpp(C语言)

#include <stdio.h>int main() {int n=0,m=0;scanf("%d %d",&n,&m); int a[1000][10]={0};int x=0,y=0;int value=0;int ans[10]={0};for(x=0;x<n;x++){for(y=0;y<m;y++){scanf("%d",&value);a[x][y]=value;}}int num=0;int flag=1;for(num=0;num<n;num++){int res=0;for(x=0;x<n;x++){if (x == num) {continue;  // 跳过当前仓库}flag=1;for(y=0;y<m;y++){if(a[x][y]<=a[num][y]){flag=0;break;}}if(flag==1){res=x+1;break;}}printf("%d\n",res);}return 0;
}

编译环境Dev-cpp(C++语言)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int main() {int N = 0, M = 0;scanf("%d %d", &N, &M);int** warehouse = (int**)malloc((N + 1) * sizeof(int*));for (int i = 0; i <= N; i++) {warehouse[i] = (int*)malloc(M * sizeof(int));}for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 0; j < M; j++) {scanf("%d", &warehouse[i][j]);}}for (int i = 1; i <= N; i++) {int res = 0;for (int j = 1; j <= N; j++) {if (i != j) {int flag = 1;for (int k = 0; k < M; k++) {if (warehouse[i][k] >= warehouse[j][k]) {flag = 0;break;}}if (flag) {res = j;break;}}}printf("%d\n", res);}for (int i = 0; i <= N; i++) {free(warehouse[i]);}free(warehouse);return 0;
}

试题编号：	202312-2
试题名称：	因子化简
时间限制：	2.0s
内存限制：	512.0MB
问题描述：	题目背景质数（又称“素数”）是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。问题描述小 P 同学在学习了素数的概念后得知，任意的正整数 n 都可以唯一地表示为若干素因子相乘的形式。如果正整数 n 有 m 个不同的素数因子 $p_{1},p_{2},...,p_{m}$ ，则可以表示为： $n=p_{1}^{{t_{1}}}\times p_{2}^{{t_{2}}}\times...\times p_{m}^{{t_{m}}}$ 。小 P 认为，每个素因子对应的指数 $t_{i}$ 反映了该素因子对于 n 的重要程度。现设定一个阈值 k，如果某个素因子 $p_{i}$ 对应的指数 $t_{i}$ 小于 k，则认为该素因子不重要，可以将 $p_{i}^{t_{i}}$ 项从 n 中除去；反之则将 $p_{i}^{t_{i}}$ 项保留。最终剩余项的乘积就是 n 简化后的值，如果没有剩余项则认为简化后的值等于 1。试编写程序处理 q 个查询：每个查询包含两个正整数 n 和 k，要求计算按上述方法将 n 简化后的值。输入格式从标准输入读入数据。输入共 q+1 行。输入第一行包含一个正整数 q，表示查询的个数。接下来 q 行每行包含两个正整数 n 和 k，表示一个查询。输出格式输出到标准输出。输出共 q 行。每行输出一个正整数，表示对应查询的结果。样例输入 3 2155895064 3 2 2 10000000000 10 样例输出 2238728 1 10000000000 样例解释查询一： $n=2^{3}\times 3^{2}\times 23^{4}\times 107$ 其中素因子 3 指数为 2，107 指数为 1。将这两项从 n 中除去后，剩余项的乘积为 $2^{3}\times 23^{4}=2238728$ 。查询二：所有项均被除去，输出 1。查询三：所有项均保留，将 n 原样输出。子任务 40% 的测试数据满足：n≤1000； 80% 的测试数据满足：n≤ $10^{5}$ ；全部的测试数据满足：1<n≤1010 且 1<k,q≤10。

编译环境Dev-cpp(C++语言)

#include <stdio.h>long long int simplifyValue(long long int n, int k) {long long int result = 1;int factor = 2;while (n > 1) { // 只要 n 大于 1，就继续进行素数因子的检查和处理if (n % factor == 0) { // 如果 factor 是 n 的因子int count = 0;while (n % factor == 0) { // 计算 factor 在 n 中的出现次数n /= factor;count++;}if (count >= k) { // 如果 factor 的指数大于等于阈值 kint i;for (i = 0; i < count; i++) { // 将 factor 乘以 count 次，累积到结果 result 中result *= factor;}}}factor++; // 检查下一个因子}return result;
}int main() {int q;scanf("%d", &q);int i;for (i = 0; i < q; i++) {long long int n;int k;scanf("%lld %d", &n, &k);long long int result = simplifyValue(n, k);printf("%lld\n", result);}return 0;
}

试题编号：	202312-3
试题名称：	树上搜索
时间限制：	1.0s
内存限制：	512.0MB
问题描述：	题目背景西西艾弗岛大数据中心为了收集用于模型训练的数据，推出了一项自愿数据贡献的系统。岛上的居民可以登录该系统，回答系统提出的问题，从而为大数据中心提供数据。为了保证数据的质量，系统会评估回答的正确性，如果回答正确，系统会给予一定的奖励。近期，大数据中心需要收集一批关于名词分类的数据。系统中会预先设置若干个名词类别，这些名词类别存在一定的层次关系。例如，“动物”是“生物”的次级类别，“鱼类”是“动物”的次级类别，“鸟类”是“动物”的次级类别，“鱼类”和“鸟类”是“动物”下的邻居类别。这些名词类别可以被按树形组织起来，即除了根类别外，每个类别都有且仅有一个上级类别。并且所有的名词都可以被归类到某个类别中，即每个名词都有且仅有一个类别与其对应。一个类别的后代类别的定义是：若该类别没有次级类别，则该类别没有后代类别；否则该类别的后代类别为该类别的所有次级类别，以及其所有次级类别的后代类别。下图示意性地说明了标有星号的类别的次级类别和后代类别。次级类别与后代类别系统向用户提出问题的形式是：某名词是否属于某类别，而用户可以选择“是”或“否”来回答问题。该问题的含义是：某名词是否可以被归类到某类别或其后代类别中。例如，要确定名词“鳕鱼”的类别，系统会向用户提出“鳕鱼是否属于动物”，当用户选择“是”时，系统会进一步询问“鳕鱼是否属于鱼类”，当用户选择“是”时，即可确定“鳕鱼”可以被归类到“鱼类”这一类别。此外，如果没有更具体的分类，某一名词也可以被归类到非叶子结点的类别中。例如，要确定“猫”的类别，系统可以向用户提出“猫是否属于动物”，当用户选择“是”时，系统会进一步分别询问“猫”是否属于“鱼类”和“鸟类”，当两个问题收到了否定的答案后，系统会确定“猫”的类别是“动物”。大数据中心根据此前的经验，已经知道了一个名词属于各个类别的可能性大小。为了用尽量少的问题确定某一名词的类别，大数据中心希望小 C 来设计一个方法，以减少系统向用户提出的问题的数量。问题描述小 C 观察了事先收集到的数据，并加以统计，得到了一个名词属于各个类别的可能性大小的信息。具体而言，每个类别都可以赋予一个被称为权重的值，值越大，说明一个名词属于该类别的可能性越大。由于每次向用户的询问可以获得两种回答，小 C 联想到了二分策略。他设计的策略如下：对于每一个类别，统计它和其全部后代类别的权重之和，同时统计其余全部类别的权重之和，并求二者差值的绝对值，计为 $\omega _{\delta }$ ；选择 $\omega _{\delta }$ 最小的类别，如果有多个，则选取编号最小的那一个，向用户询问名词是否属于该类别；如果用户回答“是”，则仅保留该类别及其后代类别，否则仅保留其余类别；重复步骤 1，直到只剩下一个类别，此时即可确定名词的类别。小 C 请你帮忙编写一个程序，来测试这个策略的有效性。你的程序首先读取到所有的类别及其上级次级关系，以及每个类别的权重。你的程序需要测试对于被归类到给定类别的名词，按照上述策略提问，向用户提出的所有问题。输入格式从标准输入读入数据。输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 m，分别表示全部类别的数量和需要测试的类别的数量。所有的类别从 1 到 n 编号，其中编号为 1 的是根类别。输入的第二行包含 n 个空格分隔的正整数 $\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{n}$ ，其中第 i 个数 $\omega_{i}$ 表示编号为 i 的类别的权重。输入的第三行包含 (n−1) 个空格分隔的正整数 $p_{2},p_{3},...,p_{n}$ ，其中第 i 个数 $p_{i+1}$ 表示编号为 (i+1) 的类别的上级类别的编号，其中 $p_{i}\in [1,n]$ 接下来输入 m 行，每行一个正整数，表示需要测试的类别编号。输出格式输出 m 行，每行表示对一个被测试的类别的测试结果。表示按小 C 的询问策略，对属于给定的被测类别的名词，需要依次向用户提出的问题。每行包含若干空格分隔的正整数，每个正整数表示一个问题中包含的类别的编号，按照提问的顺序输出。样例1输入 5 2 10 50 10 10 20 1 1 3 3 5 3 样例1输出 2 5 2 5 3 4 样例解释上述输入数据所表示的类别关系如下图所示，同时各个类别的权重也标注在了图上。样例输入数据所表示的类别关系对于归类于类别 5 的某个名词，按照上述询问策略，应当对于树上的每个节点，都计算 $\omega _{\delta }$ 的值，对于类别 1 至 5，得到的 $\omega _{\delta }$ 分别为：100、0、20、80、60。因此首先就类别 2 提问。由于类别 5 不属于类别 2 的后代类别，因此用户回答“否”，此时去除类别 2 和其全部后代类别，仅保留类别 1、3、4、5。对于剩下的类别，计算 $\omega _{\delta }$ 的值，得到的 $\omega _{\delta }$ 分别为：50、30、30、10。因此再就类别 5 提问。由于类别 5 就是被提问的名词所属类别，因此用户回答“是”，此时仅保留类别 5 和其全部后代类别。我们发现，这个时候，只剩下类别 5，因此算法结束。上述过程如下图所示：算法执行过程 1 对于归类于类别 3 的某个名词，按照上述询问策略，依次对类别 2、5 提问，过程与前述一致。但是由于类别 3 不属于类别 2 的后代类别，用户回答“否”，此时应当去掉类别 5 和其后代类别，仅保留类别 1、3、4。分别计算 $\omega _{\delta }$ 得：30、10、10。此时应当选择编号较小的类别 3 提问。由于类别 3 就是被提问的名词所属类别，因此用户回答“是”，此时仅保留类别 3 和其全部后代类别。我们发现，这个时候，并非只剩下一个类别，因此算法还应继续进行。剩下的类别有 3、4，分别计算 $\omega _{\delta }$ 得：20、0。因此再就类别 4 提问。由于类别 3 不属于类别 4 的后代类别，用户回答“否”，此时应当去掉类别 4 和其后代类别，仅保留类别 3。我们发现，这个时候，只剩下类别 3，因此算法结束。上述过程如下图所示：算法执行过程 2 子任务对 20% 的数据，各个类别的权重相等，且每个类别的上级类别都是根类别；对另外 20% 的数据，每个类别的权重相等，且每个类别至多有一个下级类别；对 60% 的数据，有 n≤100，且 m≤10；对 100% 的数据，有 n≤2000，m≤100，且 $\omega _{i}\leq 10^{7}$ 。

（待更）

试题编号：

202312-4

试题名称：

宝藏

时间限制：

1.5s

内存限制：

512.0MB

问题描述：

问题描述

西西艾弗岛上埋藏着一份宝藏，小 C 根据藏宝图找到了宝藏的位置。藏有宝藏的箱子被上了锁，旁边写着一些提示：

给定 n 条指令，编号为 1∼n，其中每条指令都是对一个双端队列的操作，队列中的元素均为 2×2 的矩阵；
在某些时刻，某一条指令可能会改变；
在某些时刻，密码可以由以下方式计算：对于给定的指令区间 $\left [ l,r \right ]$ ，对初始为空的队列依次执行第 l∼r 条指令，将得到的队列里的所有矩阵从头到尾相乘，并将乘积矩阵中的所有元素对 998244353 取模，得到的矩阵即为密码；特别地，若队列为空，则密码为单位矩阵；如果能分别计算出这些时刻的密码，将能够打开箱子的锁，从而获得宝藏。

经过小 C 的观察，每条指令的形式均为以下三种之一：

给定 2×2 的矩阵 $A$ ，将 $A$ 插入队列的头部；
给定 2×2 的矩阵 $B$ ，将 $B$ 插入队列的尾部；
若队列非空，删除队列中最晚被插入的矩阵。

小 C 将所有的时刻发生的事件均记录了下来。具体地，共有 m 个时刻，每个时刻可能会发生两种事件：

第 i 条指令改变，改变后的指令仍为以上三种形式之一；
给定指令区间 $\left [ l,r \right ]$ ，求依次执行第 l∼r 条指令得到的密码。

由于小 C 并不会这个问题，他向你发起了求助。你需要帮助小 C 求出所有类型为 2 的事件所对应的密码。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含两个正整数 n,m。

接下来 n 行，按顺序给出初始时刻的每条指令：

输入的第一个正整数 $v$ 描述这条指令的形式，保证 $v$ 为 1,2,3 中的一种。
若 $v$ =1，接下来给出四个非负整数 $A_{1,1},A_{1,2},A_{2,1},A_{2,2}$ ，表示操作为将 2×2 的矩阵 $A$ 插入队列的头部；
若 $v$ =2，接下来给出四个非负整数 $B_{1,1},B_{1,2},B_{2,1},B_{2,2}$ ，表示操作为将 2×2 的矩阵 $B$ 插入队列的尾部；
若 $v$ =3，表示操作为若队列非空，删除队列中最晚被插入的矩阵；

接下来 m 行，按顺序给出每个时刻发生的事件：

输入的第一个正整数 $v$ 描述这个事件的类型，保证 $v$ 为 1,2 中的一种。
若 $v$ =1，接下来给出一个正整数 i 与一条指令，表示将第 i 条指令更新为当前输入的指令，指令的输入格式与初始时刻指令的输入格式相同。
若 $v$ =2，接下来给出两个正整数 l,r，你需要求出依次执行第 l∼r 条指令得到的密码。

输出格式

输出到标准输出。

对于所有类型为 2 的事件，输出一行四个非负整数 $C_{1,1},C_{1,2},C_{2,1},C_{2,2}$ ，表示该时刻的密码 $C$ 。

样例1输入

3 4

1 2 3 9 3

2 6 9 4 2

2 2 8 2 1

2 2 3

1 2 1 3 1 0 1

1 3 3

2 1 3

样例1输出

30 57 12 34

2 3 9 3

样例解释

第一次事件发生时，

第 2 条指令为在序列尾部插入矩阵 $\begin{bmatrix} 6 &9 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ ；
第 3 条指令为在序列尾部插入矩阵 $\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 。

依次执行第 2∼3 条指令，得到的队列为 $\left \{ \begin{bmatrix} 6 & 9\\ 4& 2 \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\right \}$ ，则密码为

$\begin{bmatrix} 6 & 9\\ 4& 2 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2 & 8\\ 2& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 30 & 57\\ 12 & 34 \end{bmatrix}$

第四次事件发生时，

第 1 条指令为在序列头部插入矩阵 $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 9 & 3 \end{bmatrix}$ ；
第 2 条指令为在序列头部插入矩阵 $\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ；
第 3 条指令为若队列非空，删除队列中最晚被插入的矩阵。

依次执行第 1∼3 条指令，得到的队列为 $\left \{ \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 9 & 3 \end{bmatrix} \right \}$ ，则密码为 $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 9 & 3 \end{bmatrix}$ 。

样例2

见题目目录下的2.in 与2.ans。

该样例满足测试数据 1∼3 的限制。

样例3

见题目目录下的3.in 与3.ans。

该样例满足测试数据 4∼7 的限制。

样例4

见题目目录下的4.in 与4.ans。

该样例满足测试数据 8,9 的限制。

样例5

见题目目录下的5.in 与5.ans。

该样例满足测试数据 10,11 的限制。

样例6

见题目目录下的6.in 与6.ans。

该样例满足测试数据 12∼15 的限制。

样例7

见题目目录下的7.in 与7.ans。

该样例满足测试数据 16,17 的限制。

子任务

对于所有测试数据，满足 1≤n,m≤ $10^{5}$ ，0≤ $A_{i,j}$ , $B_{i,j}$ <998244353，1≤l≤r≤n。

测试点编号	n,m≤	特殊性质
1∼3	$10^{2}$	无
4∼7	$10^{3}$	无
8,9	$5\times 10^{4}$	所有指令的形式均为 1
10,11	$5\times 10^{4}$	所有指令的形式均为 1 或 2
12∼15	$5\times 10^{4}$	所有事件的类型均为 2
16,17	$5\times 10^{4}$	无
18∼20	$10^{5}$	无