分布式系统——树状算法

1 树状算法的基本理论

树算法常用于在分布式系统中实现广播操作，这里您提供了一些基本定义和一个引理关于广播操作的消息复杂度和时间复杂度的下界。

1.1 广播定义

广播操作是由单个处理器（源节点）发起的，其目的是向系统中的所有其他节点发送一条消息。

1.2 图的基本定义

        两节点间的距离：在无向图G中，节点u 和v之间的距离是指u和v之间最短路径的长度。
        节点的半径：节点u的半径是指u与图中任何其他节点之间的最大距离，表示为 $max_v d(u, v)$
        图的半径：图的半径是指图中任何节点半径的最小值，表示为
        图的直径：图的直径是指图中任意两个节点之间最大距离的最大值，表示为

引理:
消息复杂度：广播的消息复杂度至少是 n - 1 ，其中 `n` 是图中的节点数。这是因为至少需要 n - 1 条消息才能确保每个节点都收到源节点发出的消息。
时间复杂度的下界：源节点的半径是时间复杂度的下界。这意味着，广播消息到达所有节点所需的最短时间至少是等于源节点的半径的。这是因为在最坏情况下，消息必须传递源节点的半径那么远才能到达最远的节点。

这些定义和引理在设计和分析分布式算法时非常重要，尤其是在确定算法的效率和性能限制时。例如，在使用树或者其他图结构来传播消息时，了解这些基本概念可以帮助我们优化广播操作的时间和消息开销。在实际应用中，如在网络协议或并行计算中，这些理论可以指导我们选择合适的数据结构和算法以达到高效的通信。

2 泛洪算法Flooding algorithm

洪泛算法是网络通信中确保消息到达网络内所有节点的一种基本技术。其操作流程如下：

                a.源节点（根节点）将消息发送给它的所有邻居节点。
                b.每个接收到消息的节点在第一次收到消息时将该消息转发给它的所有邻居节点。
                c.如果后来节点通过其他路径再次收到同一消息，该节点可以丢弃这条消息。

在同步系统中，所有节点的算法步骤都是同步执行的，洪泛算法将创建一个从根节点开始的广度优先搜索（BFS）生成树。这是因为每个节点将在其父节点在BFS树中的下一步之后接收到消息，确保消息按层从源节点向外传播。

然而，在异步系统中，消息传递的时间不受保证。消息在节点间的传递可能需要不同的时间，这意味着洪泛算法创建的生成树可能不是BFS树。消息可能会以与BFS预测不同的顺序到达节点。

        异步系统中的停止条件：
                来自所有邻居的消息接收：一种可能的停止条件是，当节点从所有邻居那里都收到了相同的消息时，它可以停止转发该消息。这确保了消息遍历了所有可能的路径。
                序列号：源节点可以在每条消息中包含一个序列号。节点只转发它们之前未见过的序列号的消息，并且在收到旧序列号的消息时停止转发。
                确认消息：节点可以向发送者回送确认消息。一旦节点从它转发消息的所有邻居那里收到了确认，它就可以停止参与洪泛。
                生存时间（TTL）：每条消息可以携带一个TTL，每经过一个节点就减一。当TTL降到零时，消息不再被转发。

还需要注意的是，在没有可靠故障检测器的异步系统中，没有完美的停止条件可以保证消息被所有节点接收，因为总是存在消息还没有被慢速或暂时不可达的节点接收或发送的可能性。