【动态规划】【广度优先搜索】【状态压缩】847 访问所有节点的最短路径

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动态规划汇总
广度优先搜索状态压缩

LeetCode847 访问所有节点的最短路径

存在一个由 n 个节点组成的无向连通图，图中的节点按从 0 到 n - 1 编号。
给你一个数组 graph 表示这个图。其中，graph[i] 是一个列表，由所有与节点 i 直接相连的节点组成。
返回能够访问所有节点的最短路径的长度。你可以在任一节点开始和停止，也可以多次重访节点，并且可以重用边。
示例 1：
输入：graph = [[1,2,3],[0],[0],[0]]
输出：4
解释：一种可能的路径为 [1,0,2,0,3]
示例 2：
输入：graph = [[1],[0,2,4],[1,3,4],[2],[1,2]]
输出：4
解释：一种可能的路径为 [0,1,4,2,3]
参数范围：
n == graph.length
1 <= n <= 12
0 <= graph[i].length < n
graph[i] 不包含 i
如果 graph[a] 包含 b ，那么 graph[b] 也包含 a
输入的图总是连通图

广度优先搜索

需要记录那些节点已经访问，用状态压缩 (1 << i )表示第i个节点已访问。
还要记录此路径的最后节点。
这两个状态相同，后面的路径则相同。由于是广度优先搜索，所以路径短的先处理，每个状态只会处理一次。
vDis 记录各状态的最短路径数。
que 记录状态。
时间复杂度：O(n2ⁿn) 枚举起点O(n) 枚举状态数O(2^n) 每个状态处理。

核心代码

class Solution {
public:int shortestPathLength(vector<vector<int>>& graph) {m_c = graph.size();m_iMaskCount = 1 << m_c;for (int i = 0; i < m_c; i++){BFS(graph, i);}return m_iRet;}void BFS(vector<vector<int>>& neiBo,int start){vector<vector<int>> vDis(m_c, vector<int>(m_iMaskCount, m_iNotMay));queue<pair<int, int>> que;auto Add = [&](int node, int iPreMask,int iNew){const int iMask = iPreMask | (1 << node);if (vDis[node][iMask] <= iNew ){return ;}vDis[node][iMask] = iNew;que.emplace(node, iMask);};Add( start,0, 0);while (que.size()){auto [preNode, preMask] = que.front();const int iNew = vDis[preNode][preMask]+1;que.pop();for (const auto& next : neiBo[preNode]){Add(next, preMask, iNew);}}for (const auto& v : vDis){m_iRet = min(m_iRet, v.back());}}const int m_iNotMay = 100'000;int m_c, m_iMaskCount;int m_iRet = m_iNotMay;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{	vector<vector<int>> graph;{Solution sln;graph = { {1,2,3},{0},{0},{0} };auto res = sln.shortestPathLength(graph);Assert(res, 4);}{Solution sln;graph = { {1},{0,2,4},{1,3,4},{2},{1,2} };auto res = sln.shortestPathLength(graph);Assert(res, 4);}}

动态规划

节点的距离用多源路径的最短距离。

动态规划的状态表示

mask&(1 << next)表示经过了next节点。
vDis[node][mask] 有以下两种含义：
一，以node结尾，经过mask指定节点的最短路径经过的节点数。
二，以node结尾，且只经过node节点一次,经过mask指定节点的最短路径经过的节点数。
含义二，如果存在，则是含义二，否则是含义一。必须枚举所有符合含义二的可能。

动态规划的转移方程

vDis[next][maks|next]= MinSelf $\Large_{next=0}^{m_c-1}$ vDis[i][mask]+距离(i,next)
vDis[i][mask] 必须合法，且mask不包括next节点

动态规划的填表顺序

mask从1到大，确保动态规划的无后效性。某路径的编码是mask，经过新节点next后，新编码为iNewMask。则iNewMask-mask = 1 << next
1 << next 恒大于0。

动态规划的初始值

全部为不存在的数

动态规划的返回值

Min $\Large_{j=0}^{m_c-1}$ vDis[j].back() -1

证明

将最短路径的重复节点删除，保留任意一个。删除后为: i $\Large_1$ i $\Large_2$ …i $\Large_n$ 。任意i $\Large_k$ 到i $\Large_{k+1}$ 的路径一定是最短，否则替换成最短。直接枚举，12! 超时。用动态规划，共2ⁿn种状态，空间复杂度O(2ⁿn)，每种状态转移时间复杂度O(n)，故总时间复杂度O(2ⁿnn)。

代码

//多源码路径
template<class T, T INF = 1000 * 1000 * 1000>
class CFloyd
{
public:CFloyd(const  vector<vector<T>>& mat){m_vMat = mat;const int n = mat.size();for (int i = 0; i < n; i++){//通过i中转for (int i1 = 0; i1 < n; i1++){for (int i2 = 0; i2 < n; i2++){//此时：m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i)中转的最短距离m_vMat[i1][i2] = min(m_vMat[i1][i2], m_vMat[i1][i] + m_vMat[i][i2]);//m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i]中转的最短距离}}}};vector<vector<T>> m_vMat;
};class Solution {
public:int shortestPathLength(vector<vector<int>>& graph) {m_c = graph.size();m_iMaskCount = 1 << m_c;vector<vector<int>> mat(m_c, vector<int>(m_c, 1000 * 1000 * 1000));for (int i = 0; i < m_c; i++){for (const auto& j : graph[i]){mat[i][j] = 1;}}CFloyd floyd(mat);vector<vector<int>> vDis(m_c, vector<int>(m_iMaskCount, m_iNotMay));for (int i = 0; i < m_c; i++){	vDis[i][1 << i] = 1;}for (int mask = 1; mask < m_iMaskCount; mask++){for (int i = 0; i < m_c; i++){if (vDis[i][mask] >= m_iNotMay){continue;}for (int next = 0 ;next < m_c ;next++ ){if ((1 << next) & mask){continue;//已经访问}const int iNewMask = (1 << next) | mask;vDis[next][iNewMask] = min(vDis[next][iNewMask], vDis[i][mask] + floyd.m_vMat[i][next]);}}}int iRet = m_iNotMay;for (const auto& v : vDis){iRet = min(iRet, v.back());}return iRet-1;}const int m_iNotMay = 100'000;int m_c, m_iMaskCount;};

2023年1月

class Solution {
public:
int shortestPathLength(vector<vector>& graph) {
auto Add = [this](int iMask, int iPos, int iOpeNum)
{
if (INT_MAX != m_vMaskPosMinOpe[iMask][iPos])
{
return;
}
m_vQue.emplace_back(iMask, iPos);
m_vMaskPosMinOpe[iMask][iPos] = iOpeNum;
};
m_c = graph.size();
for (int i = 0; i < sizeof(m_vMaskPosMinOpe) / sizeof(m_vMaskPosMinOpe[0]); i++)
{
for (int j = 0; j < sizeof(m_vMaskPosMinOpe[0]) / sizeof(m_vMaskPosMinOpe[0][0]); j++)
{
m_vMaskPosMinOpe[i][j] = INT_MAX;
}
}
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
Add(1 << i, i, 0);
}
for (int i = 0; i < m_vQue.size(); i++)
{
const int iMask = m_vQue[i].first;
const int iPos = m_vQue[i].second;
for (auto& next : graph[iPos])
{
int iNewMask = iMask | (1 << next);
Add(iNewMask, next, m_vMaskPosMinOpe[iMask][iPos] + 1);
}
}
int iMin = INT_MAX;
for (int i = 0; i < sizeof(m_vMaskPosMinOpe[0]) / sizeof(m_vMaskPosMinOpe[0][0]); i++)
{
iMin = min(iMin, m_vMaskPosMinOpe[(1 << m_c) - 1][i]);
}
return iMin;
}
vector<std::pair<int,int>> m_vQue;
int m_vMaskPosMinOpe[1 << 12 ][12];
int m_c;
};

2023年8月

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛