神经网络（Nature Network）

最近接触目标检测较多，再此对最基本的神经网络知识进行补充，本博客适合想入门人工智能、其含有线性代数及高等数学基础的人群观看

1.构成

由输入层、隐藏层、输出层、激活函数、损失函数组成。

输入层：接收原始数据
隐藏层：进行特征提取和转换
输出层：输出预测结果
激活函数：非线性变换
损失函数：衡量模型预测结果与真实值之间的差距

2.正向传播过程

基础的神经网络如下图所示，其中层1为输入层，层2为隐藏层，层3为输出层：

神经网络

每一个圆圈代表了一个神经元，各层的神经元各自相连，如图中的绿色箭头。每一条相连的绿线上拥有起始设定好的权重。隐藏层的神经元后跟着激活函数，进行信号的转变。

对于每一层信号的输入输出，均有以下公式表达，X为此层的输入，O为此层的输出，一般输入层采用激活函数，即输入即为输出。
$X=W·Input\\ O=sigmoid(X)$
$I n p u t$ 为输入矩阵，此处以如下为例：
$\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.5\\ 0.35 \end{bmatrix}$
$W$ 为权重矩阵，各层的权重各不相同
$\begin{bmatrix} w_{1.1} & w_{1.2} &w_{1.3}\\ w_{2.1} & w_{2.2} &w_{2.3}\\ w_{3.1} & w_{3.2} &w_{3.3} \end{bmatrix}$
$s i g m o i d$ 为激活函数
$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$

过程演示（3层）

1.输入层： 由于输入层一般不使用激活函数，输入层的输出即为输入数据 $I n p u t$ 。

2.隐藏层： 此层的输入为：
$X_{hidden}=W_{input2hidden} · Input= \begin{bmatrix} w_{1.1} & w_{1.2} &w_{1.3}\\ w_{2.1} & w_{2.2} &w_{2.3}\\ w_{3.1} & w_{3.2} &w_{3.3} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} 1.0\\ 0.5\\ 0.35 \end{bmatrix}$
此层的输出为：
$O_{hidden} = sigmoid(X_{hidden})=\frac{1}{1+e^{X_{hidden}}}$
3.输出层： 输出层永远不使用激活函数，输出层的输出即为输入，输出层的输入为：
$X_{output} = W_{hidden2output}·O_{hidden}$

3.激活函数

上文使用的是 $s i g m o i d$ 函数作为激活函数，还可以将其根据具体应用，更换为以下函数：

Sigmoid函数：将输入值压缩到0到1之间，常用于二分类问题

sigmoid

ReLU函数：将负值置为0，常用于深度神经网络中
Tanh函数：将输入值压缩到-1到1之间，常用于回归问题

tanh

Leaky ReLU函数：对负值进行微小的缩放，避免梯度消失问题

Leaky ReLU

4.反向传播过程

误差计算：目标值-实际值 $e_n = t_n - o_n$

下面以单个神经元返回误差为例：
bp传播

对于最后输出的误差我们需要将他根据前一层的权重传播到前一层，以上面单个神经元的反向传播过程为例。传回1号神经元的误差为 $errors·\frac{w_1}{w_1+w_2}$ ，传回2号神经元的误差为 $errors·\frac{w_2}{w_1+w_2}$ 。

过程演示（3层）

下面我们把这个过程放到三层的神经网络中分析：

反向传播

我们以第二层第一个神经元为例，分析误差传播到此的值。
$e_{hidden1} = e_{output1}·\frac{w_{1.1}}{w_{1.1}+w_{2.1}+w_{3.1}}+e_{output2}·\frac{w_{1.2}}{w_{1.2}+w_{2.2}+w_{3.2}}+e_{output3}·\frac{w_{1.3}}{w_{1.3}+w_{2.3}+w_{3.3}}$
接下来我们使用矩阵来表达这个麻烦的公式：

输出层误差：
$error_{output}=\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ e_3 \end{pmatrix}$
隐藏层误差：
$error_{hidden}=\begin{bmatrix} \frac{w_{1.1}}{w_{1.1}+w_{2.1}+w_{3.1}} &\frac{w_{1.2}}{w_{1.2}+w_{2.2}+w_{3.2}} &\frac{w_{1.3}}{w_{1.3}+w_{2.3}+w_{3.3}}\\ \frac{w_{2.1}}{w_{1.1}+w_{2.1}+w_{3.1}} &\frac{w_{2.2}}{w_{1.2}+w_{2.2}+w_{3.2}} &\frac{w_{2.3}}{w_{1.3}+w_{2.3}+w_{3.3}}\\ \frac{w_{3.1}}{w_{1.1}+w_{2.1}+w_{3.1}} &\frac{w_{3.2}}{w_{1.2}+w_{2.2}+w_{3.2}} &\frac{w_{3.3}}{w_{1.3}+w_{2.3}+w_{3.3}}\\ \end{bmatrix} · error_{output}$
去归一化：
$error_{hidden}=\begin{bmatrix} w_{1.1} & w_{1.2} & w_{1.3}\\ w_{2.1} & w_{2.2} & w_{2.3}\\ w_{3.1} & w_{3.2} & w_{3.3} \end{bmatrix} · error_{output} = w_{hidden2output}·error_{output}$

5.更新权重

下一步需要取得误差最小的权重作为最优权重，在此我们使用梯度下降的方法找到误差最小时的权重。

梯度下降： 用于计算函数的最小值。随机起始点，通过导数的正负判断方向，朝着函数减小的方向，一步步增加x，并计算他的导数当导数为零或为设定范围内，取得最小值；否则继续增加。

在神经网络中由于x为权重矩阵，我们使用的梯度下降为多维梯度下降。

设定误差函数

在此例中我们使用 $E = (t_n-o_n)^2$

误差函数的斜率

$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}=\frac{\partial}{\partial w_{ij}}\sum_n(t_n-o_n)^2$

由于在这里 $o_n$ 仅取决于连接着的权重，所以误差函数的斜率可以改写为：
$\frac{\partial}{\partial w_{ij}}(t_n-o_n)^2$
根据导数的链式法则，我们改写斜率函数：
$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}=\frac{\partial E}{\partial o_n}\times \frac{\partial o_n}{\partial w_{ij}}=-2(t_n-o_n)\frac{\partial o_n}{\partial w_{ij}}$
我们再将 $o_n$ 带入到此函数 $o_n=sigmoid(\sum_j w_{j,k}·o_j)$ ， $o_j$ 为前一层的输出，得到函数如下：
$-2(t_n-o_n)\frac{\partial}{\partial w_{i,j}}sigmoid(\sum_j w_{jk}·o_j)$
我们对sigmoid函数进行微分：
$\frac{\partial sigmoid(x)}{\partial x} = sigmoid(x)(1-sigmoid(x))$
我们再把它放到斜率函数之中：
$斜率函数=-2·(t_n-o_n)·sigmoid(\sum_jw_{jk}·o_j)·(1-\sum_jw_{jk}·o_j)·\frac{\partial }{\partial w_{i.j}}(\sum_jw_{jk}·o_j)\\ =-2·(t_n-o_n)·sigmoid(\sum_jw_{jk}·o_j)·(1-\sum_jw_{jk}·o_j)·o_j$
由于在此过程中我们只需判断斜率方向，我们可以把常数去除，即：
$斜率函数=-(t_n-o_n)·sigmoid(\sum_jw_{jk}·o_j)·(1-\sum_jw_{jk}·o_j)·o_j$
我们根据已有的关系对斜率在此修改：

$t_n - o_n)$ 为 $(目标值 - 实际值)$ ，即 $e_i$
$\sum_i w_{i,j}·o_i$ 为进入上一层的输入
$o_i$ 为上一层的输出

$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}=-e_i \cdot sigmoid(\sum_i w_{ij}o_i)\cdot (1-sigmoid(\sum_i w_{ij}o_i))\cdot o_i$

更新权重

有了误差函数的斜率，我们就可以通过梯度下降的方式更新权重，其中 $\alpha$ 为设定好的学习率：
$W_{new} = W_{old}-\alpha \frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$

权重的矩阵变化

$\Delta w_{ij} = \alpha \cdot E_k \cdot o_k \cdot (1-o_k) \cdot o_j$

6.代码实现

神经网络代码应该由三部分组成：初始化函数、训练函数、查询函数

初始化函数：应该包含各层的节点数，学习率，随机权重矩阵以及激活函数
训练函数：应该包含正、反向传播，权重更新
查询函数：正向传播过程

import numpy.random
import scipy.special# 激活函数设置
def activation_function(x):return scipy.special.expit(x)# 神经网络类
class NeuralNetwork:# 初始化函数def __init__(self, inputnodes, hiddennodes, outputnodes, learningrate):# 输入层、隐含层、输出层节点数self.inodes = inputnodesself.hnodes = hiddennodesself.onodes = outputnodes# 学习率self.lr = learningrate# 随机权重矩阵self.Wih = numpy.random.normal(0.0, pow(self.hnodes, -0.5), (self.hnodes, self.inodes))self.Who = numpy.random.normal(0.0, pow(self.onodes, -0.5), (self.onodes, self.hnodes))# 激活函数self.activation_function = activation_functionpass# 训练函数def train(self, inputs_list, targets_list):# 输入的目标list改为2D数组targets = numpy.array(targets_list, ndmin=2).T# 第一步计算结果（与query一致）inputs = numpy.array(inputs_list, ndmin=2).Thidden_inputs = numpy.dot(self.Wih, inputs)hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)final_inputs = numpy.dot(self.Who, hidden_outputs)final_outputs = self.activation_function(final_inputs)# 计算输出层误差 error_output = 目标值 - 测量值output_errors = targets - final_outputs# 计算隐含层误差 errors_hidden = w_hidden2output^T · errors_outputhidden_errors = numpy.dot(self.Who.T, output_errors)# 权重更新self.Who += self.lr * numpy.dot((output_errors * final_outputs * (1.0 - final_outputs)),numpy.transpose(hidden_outputs))self.Wih += self.lr * numpy.dot((hidden_errors * hidden_outputs * (1.0 - hidden_outputs)),numpy.transpose(inputs))pass# 查询函数def query(self, inputs_list):# 输入的list改为2D数组inputs = numpy.array(inputs_list, ndmin=2).T# 隐含层的输入 hidden_inputs = w_input2hedden · inputshidden_inputs = numpy.dot(self.Wih, inputs)# 隐含层的输出 hidden_outputs = sigmoid(hidden_inputs)hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)# 输出层的输入final_inputs = numpy.dot(self.Who, hidden_outputs)# 输出层的输出final_outputs = self.activation_function(final_inputs)return final_outputs