一、动态规划
动态规划(Dynamic Programming,简称DP)主要用于求解可以被分解为相似子问题的复杂问题,特别是在优化问题上表现出色,如最短路径、最大子数组和、编辑距离等。动态规划的核心思想是将原问题分解为较小的子问题,通过解决这些子问题,并将结果存储起来(通常是在一个数组或者哈希表中),以避免重复计算,从而提高效率。
动态规划问题的解决通常遵循以下几个步骤:
- 暴力穷举所有答案。
- 画出递归树,尝试编写递归函数求解。
- 若遍历中存在大量重复计算,使用哈希表缓存数据,之后遍历到相同节点就直接查表。
- 表示整个计算过程,观察公式求解顺序,改写成更加高效的迭代形式。
二、动态规划的例子
1.斐波那契数列
2.背包问题
3. 最长公共子序列(LCS)
- 给定一个无序数组
nums=[1,5,2,4,3]
,找出其中最长的递增的子序列,比如1-2-4
,1-2-3
。将问题简化,要求算法只返回最长序列的长度(3)
(1) 暴力枚举
- 把每个子序列都“找个遍”,并且在遍历过程中实时记录当前子序列的长度
(2) 递归解决方案
-
递归函数
L
:用于计算以特定元素结尾的最长递增子序列的长度;- 基础情形:如果当前考虑的元素是数组的最后一个元素,那么以它结尾的最长递增子序列的长度为 1,因为它自身就构成了一个长度为 1 的递增子序列。
- 递归步骤:对于非最后一个元素,函数会遍历当前元素之后的所有元素,寻找一个值比当前元素大的元素,这意味着可以形成一个递增的序列。对于每一个这样的元素,函数会递归地计算以那个元素为结尾的最长递增子序列的长度,并将其与当前最大长度比较,更新当前最大长度。这个过程会重复直到数组结束。
- 返回值:函数最终返回以当前元素结尾的最长递增子序列的长度。
-
函数
lengthOfLIS
:作用是找到整个数组的最长递增子序列的长度。- 遍历给定数组的每个元素,对每个元素调用递归函数
L
,计算以该元素为结尾的最长递增子序列的长度。 - 比较并更新
max_len
为当前找到的最长递增子序列的长度。 - 遍历完成后,返回
max_len
作为最终结果。
- 遍历给定数组的每个元素,对每个元素调用递归函数
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 计算以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
int L(const vector<int>& nums, int i) {if (i == nums.size() - 1) { // 如果是最后一个元素return 1; // 最长递增子序列长度为1}int max_len = 1; // 初始化最大长度为1for (int j = i + 1; j < nums.size(); ++j) {if (nums[j] > nums[i]) { // 如果找到一个递增的元素// 递归计算以 nums[j] 结尾的最长递增子序列长度,并加1(加上nums[i])// 然后与当前的最大长度取较大值max_len = max(max_len, L(nums, j) + 1);}}return max_len; // 返回以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
}// 计算给定序列的最长递增子序列长度
int lengthOfLIS(const vector<int>& nums) {int max_len = 0; // 初始化全局最大长度为0for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {// 遍历每个元素,计算以每个元素为起点的最长递增子序列的长度// 然后取所有长度中的最大值max_len = max(max_len, L(nums, i));}return max_len; // 返回最长递增子序列的长度
}int main() {vector<int> nums = {1, 5, 2, 4, 3}; cout << lengthOfLIS(nums) << endl; return 0;
}
(3) 递归的问题
- 直接递归的方法在时间复杂度上是非常高的,因为它会重复计算很多子问题的解。
- 比如,在遍历子序列1-2-4时就已经计算过“L(4)”,后面遍历1,4时又重复计算了一次。
(4) 递归的优化:动态规划
-
为了避免递归中出现的重复计算,可以将第一次计算时的结果保存,之后再当遍历到相同的节点我们就不在需要重复计算,直接返回之前的结果即可。
-
在这个版本中,
L
函数中添加了一个unordered_map
(哈希表)类型的备忘录memo
,用于存储已经计算过的子问题的解。在递归的过程中,先检查备忘录是否已经包含了当前子问题的解,如果有则直接返回保存的结果,避免了重复计算。这样能够显著提高程序的性能。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;// 使用备忘录的递归方式计算以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
int L(const vector<int>& nums, int i, unordered_map<int, int>& memo) {if (i == nums.size() - 1) {return 1;}if (memo.find(i) != memo.end()) {return memo[i]; // 如果已经计算过,直接返回保存的结果}int max_len = 1;for (int j = i + 1; j < nums.size(); ++j) {if (nums[j] > nums[i]) {max_len = max(max_len, L(nums, j, memo) + 1);}}memo[i] = max_len; // 将结果保存到备忘录中return max_len;
}// 计算给定序列的最长递增子序列长度
int lengthOfLIS(const vector<int>& nums) {int max_len = 0;unordered_map<int, int> memo; // 使用unordered_map作为备忘录for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {max_len = max(max_len, L(nums, i, memo));}return max_len;
}int main() {vector<int> nums = {1, 5, 2, 4, 3};cout << lengthOfLIS(nums) << endl;return 0;
}
(5) 递归转非递归
-
从后往前依次计算,即可推算出所有答案(数学归纳)
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dp
数组:用于存储以每个元素结尾的最长递增子序列的长度。 -
双重循环:外层循环遍历每个元素,内层循环遍历当前元素之前的元素,更新以当前元素结尾的最长递增子序列的长度。
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max_element
函数:返回 dp 数组中的最大值,即整个数组中最长递增子序列的长度。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int lengthOfLIS(const vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n == 0) return 0; // 处理空数组的情况vector<int> dp(n, 1); // 初始化dp数组,每个元素代表以对应位置元素结尾的最长递增子序列的长度for (int i = 1; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < i; ++j) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); // 更新以nums[i]结尾的最长递增子序列长度}}}return *max_element(dp.begin(), dp.end()); // 返回dp数组中的最大值,即最长递增子序列的长度
}int main() {vector<int> nums = {1, 5, 2, 4, 3}; // 定义一个序列cout << lengthOfLIS(nums) << endl; // 输出最长递增子序列的长度return 0;
}