利用贝叶斯定理，可以将条件概率倒置。知道P(B|A)，就可以求出P(A|B)。例如，知道感冒时你打喷嚏的概率，就可以倒过来判断打喷嚏时你感冒的概率。这样，我们就用数据更新了自己对世界的信念。

1. 运用乐高

如果知道自己触摸到的是白色凸粒，那么它下面是浅色凸粒的概率有多大呢？

P(浅色凸粒 | 白色凸粒)：“白色凸粒共有6个，其中4个在浅色凸粒上面，所以白色凸粒下面是浅色凸粒的概率为$\frac{2}{3}$。”如果你是按照这一思路去计算的，那么恭喜你，你刚刚独立地发现了贝叶斯定理！现在我们要用数学来量化它，以确保它正确无误。

2. 通过数学计算来证明

计算：P(A|B)=P(浅色凸粒 | 白色凸粒)
P(A)=浅色凸粒的数量=P(浅色凸粒)*凸粒总量=$\frac{1}{3}$*60=20
P(B)=白色凸粒的数量=P(白色凸粒)*凸粒总量=$\frac{1}{10}$*60=6
P(B|A)=P(白色凸粒|浅色凸粒)=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$

根据:
P(A|B)=$\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$，
分子分母同时消除凸粒总量
可以得到：
P(浅色凸粒 | 白色凸粒)=$\frac{P(白色凸粒|浅色凸粒)P(浅色凸粒}{P(白色凸粒)}$

3. 小结

从概念上来说，贝叶斯定理来源于直觉，但这并不意味着贝叶斯定理的形式化很容易。数学工作的优点是，它能从直觉中提取理性。我们已经证实了最初的直觉信念是前后一致的，现在有更强大的新工具来处理比乐高积木更复杂的概率问题了。第8章将介绍如何使用贝叶斯定理来推理以及利用数据来更新我们的信念。

4. 练习题

(1) 堪萨斯城虽然听上去像美国堪萨斯州的城市，但它实际上位于密苏里州和堪萨斯州的交界处。它的都市区由15个县组成，其中9个县在密苏里州，6个县在堪萨斯州。整个堪萨斯州有105个县，密苏里州有114个县。假设你有一个亲戚刚搬到堪萨斯城都市区某县，请用贝叶斯定理计算他（她）住在堪萨斯州的概率。在计算中必须使用P(堪萨斯州)、P(堪萨斯城都市区)，以及P(堪萨斯城都市区| 堪萨斯州)等。

根据贝叶斯定理:
P(州|市区)=$\frac{P(市区|州)\ast P(州)}{P(市区)}$
P(市区|州)=堪萨斯州中堪萨斯市区的比例=$\frac{6}{105}$
P(州)=堪萨斯州占(堪萨斯州+密苏里州)的比例=$\frac{105}{219}$
P(市区)=都市区占(堪萨斯州+密苏里州)的比例=$\frac{15}{219}$
代入公式，P(州|市区)=$\frac{2}{5}$

(2) 一副牌有52张（除大王和小王外），花色为浅色或黑色，其中有4张A：2张浅色，2张黑色。你从这副牌中抽出一张浅色A后洗牌，你的朋友接着抽出来一张黑色牌。请问它是A的概率有多大？
$P(黑|A)=\frac{2}{3}$
$P(A)=\frac{3}{51}$
$P(黑)=\frac{26}{51}$
$P(A|黑)=\frac{\frac{2}{3}\ast \frac{3}{51}}{\frac{26}{51}}=\frac{1}{13}$