二分的本质是什么？

很多人会认为单调性是二分的本质，但其实其本质并非单调性，只是说，有单调性的可以进行二分，但是有些题目没有单调性我们也可以进行二分。其本质其实是一个边界问题，给定一个条件，在我们的区间中，有一部分满足这个条件，有一部分不满足这个条件，要求满足和不满足的边界值，这个时候我们便可以使用二分来解决这个问题。

整数二分：

基本步骤：

1.先找到中间值mid

2.先判断mid是否满足性质（check(mid)）

3.若满足则缩小区间到[mid,r]，l=mid,不满足则反之

4.更新边界

区间前半部分边界点（借用一下y总的画的图，也就是红色区间的边界点）

二分步骤：

1.先找到中间值mid=(l+r+1)/2

2.先判断mid是否满足红色区间的性质（check(mid)）

3.若满足则缩小区间到[mid,r]，若不满足则[l,mid-1](r=mid-1)

为什么要+1？

讲讲这里mid为什么要额外+1,因为 当l=r-1的时候，因为除以二向下取整mid的值为l,如果check(mid)成功返回true则mid的值还是l并不会发生改变会造成死循环，所以我们在后面+1，遇到这种情况发生时，mid就变成了r，避免了死循环的发生

模板如下：

int bsearch_1(int l,int r){while(l<r){int mid=l+r+1>>1;if(check(mid)) l=mid;else r=mid-1;}return 1;
}

 

区间后半部分边界点（也就是上图的绿色边界点）

 二分步骤：

1.先找到中间值mid=(l+r)/2

2.先判断mid是否满足绿色区间的性质（check(mid)）

3.若满足则缩小区间到[l,mid]，若不满足则[mid+1,r](l=mid+1)

模板如下：

int bserch_2(int l,int r){while(l<r){int mid=l+r>>1;if(check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}return 1;
}

这里以一个例题来解释一下用法：

例题：

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1