【笔记】【电子科大 离散数学】 2.命题

文章目录

    • 数理逻辑
      • 定义
    • 命题
      • 定义
      • 不是命题的例子
    • 原子命题和复合命题
      • 定义
      • 约定
    • 命题联结词
      • 否定联结词
        • 定义
        • 例子
        • 真值表
      • 合取联结词
        • 定义
        • 例子
        • 真值表
      • 析取联结词
        • 定义
        • 例子
      • 蕴含联结词
        • 定义
        • 例子
        • 真值表
      • 等价联结词
        • 定义
        • 例子
        • 真值表
    • 命题符号化及其应用
      • 速查表格
      • 优先级
      • 复合命题符号化
      • 布尔检索演示
    • 命题变元
    • 命题公式
      • 公式的解释
      • 真值表
    • 命题公式的分类
    • 公式的逻辑等价
      • 定义
      • 定理
    • 命题公式的逻辑律、基本等价关系
      • 幂等律 (Idempotent Laws)
      • 交换律 (Commutative Laws)
      • 结合律 (Associative Laws)
      • 同一律 (Identity Laws)
      • 零律 (Domination Laws)
      • 分配律 (Distributive Laws)
      • 吸收率 (Absorption Laws)
      • 矛盾律 (Contradiction Law)
      • 排中律 (Law of Excluded Middle)
      • 双重否定律 (Double Negation Law)
      • 德摩根律 (De Morgan's Laws)
      • 蕴含式 (Implication)
      • 假言易位 (Contrapositive)
      • 等价式 (Equivalence)
      • 等价否定式 (Negation of Equivalence)
      • 归谬论 (Reductio ad absurdum)
    • 范式 (Normal Form)
      • 文字 (Literal)
      • 子句 (Clause)
      • 短语 (Phrase)

数理逻辑

定义

使用数学的方法研究逻辑推理的规律

命题

数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位

定义

具有确切真值的陈述句称为命题(proposition)。该命题可以取一个“值”,称为真值。真值只有“真”和“假”两种,分别用“T”(或“1”)和“F”(或“0”)表示。

不是命题的例子

一切没有判断内容的句子都不是命题,比如命令句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句

  • 命令句:比如,“把门关上。” 这是一个请求或指令,没有真假之分。

  • 疑问句:例如,“你今天怎么样?” 这是一个问题,它没有表明任何可以验证的事实。

  • 二义性的陈述句,比如:“这个命题是假的(指当前这个命题)”

    • 如果这是一个真命题,那么这个命题确实是假的,那么这个命题到底是真还是假?
    • 如果这是一个假命题,那么这个命题不是假命题而是真命题,跟上面一样产生了矛盾。

原子命题和复合命题

定义

  • 原子命题(简单命题):不能再分解为更为简单命题的命题。
  • 复合命题:可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果…则……”、“当且仅当”等这样的逻辑连词和标点符号复合而成。

约定

通常用大写的带或不带下标的英文字母表示命题(包括原子命题和复合命题),例如:

A , B , C , … , P , Q , R , … , A 1 , B 1 , C 1 , … , P 1 , Q i , R i , … A, B, C, \ldots, P, Q, R, \ldots, A_1, B_1, C_1, \ldots, P_1, Q_i, R_i, \ldots A,B,C,,P,Q,R,,A1,B1,C1,,P1,Qi,Ri,

命题联结词

否定联结词

定义

P 是任意一个命题,复合命题“非 P”(或“P 的否定”)称为 P 的否定式 (negation),记作 ¬P,其中 ¬ 为否定联结词。P 为真当且仅当 ¬P 为假。

例子
  • P: 四川是一个国家。
  • ¬P: 四川不是一个国家。

否定式是自然语言中的“非”、“不”、“没有”等的逻辑抽象。

真值表
P¬P
真(T)假(F)
假(F)真(T)

这个真值表表示的是,如果原命题 P 的真值为真(T),那么它的否定 ¬P 的真值为假(F),反之亦然。

合取联结词

定义

PQ 是任意两个命题,复合命题“P 并且 Q”(或“PQ”)称为 PQ 的合取式 (conjunction),记作 P∧Q,其中 “∧” 为合取联结词。P∧Q 为真当且仅当 PQ 同为真。

例子
  • P: 3 是素数。
  • Q: 3 是奇数。
  • P∧Q: 3 既是素数又是奇数。

这展示了合取命题的性质:只有当所有单独的命题都为真时,合取命题才为真。

真值表
PQP∧Q
真(T)真(T)真(T)
真(T)假(F)假(F)
假(F)真(T)假(F)
假(F)假(F)假(F)

这个真值表表示的是合取命题 P∧Q 只有在两个单个命题 PQ 都为真的情况下才为真,如果其中任何一个为假,合取命题 P∧Q 就为假。

析取联结词

定义

PQ 是任意两个命题,复合命题 “PQ” 称为 PQ 的析取式 (disjunction),记作 P∨Q,其中 “∨” 是析取联结词。P∨Q 为真当且仅当 PQ 至少有一个为真。

例子
  • P: 张谦是大学生。
  • Q: 张谦是运动员。
  • P∨Q: 张谦是大学生或是运动员。

这个例子说明了析取命题 P∨Q 的性质:只要 PQ 中至少有一个命题为真,P∨Q 就为真。

蕴含联结词

定义

PQ 是任两个命题,复合命题 “如果 P,则 Q” 称为 PQ 的蕴涵式 (implication),记作 P → Q,其中 “→” 是蕴涵联结词。P → Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。一般把蕴涵式 P → Q 中的 P 称为该蕴涵式的前件,Q 称为蕴涵式的后件。

例子
  • P: 周末天气晴朗。
  • Q: 我们将到郊外旅游。
  • P → Q: 如果周末天气晴朗,则我们将到郊外旅游。

这个例子阐明了蕴涵式 P → Q 的性质:只在 P 为真且 Q 为假的情况下,P → Q 才为假。

真值表
PQP → Q
真(T)真(T)真(T)
真(T)假(F)假(F)
假(F)真(T)真(T)
假(F)假(F)真(T)

这个真值表表示的是蕴涵式 P → Q 的真值条件。只有当 P 为真而 Q 为假时,P → Q 才为假。在其他所有情况下,P → Q 都为真。

当前件P为假,无论后件Q真假如何, P → Q都为真,这被称为善意推定。打个比方,我们将“罪证为假”设定为P,“犯人无罪”设定为Q,那么,“如果罪证为假,则犯人无罪”设定为P → Q,显然,即使P这个命题是假的,也不影响P → Q为真。

等价联结词

定义

PQ 是任两个命题,复合命题 “P 当且仅当 Q” 称为 PQ 的等价式 (equivalence),记作 P ↔ Q,其中 “↔” 是等价联结词(也称作双条件联结词)。P ↔ Q 为真当且仅当 PQ 同为真或者同为假。

例子
  • P: 两个三角形全等。
  • Q: 三角形的三条边全部相等。
  • P ↔ Q: 两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等。

这个例子表明了等价命题 P ↔ Q 的性质:它只在 PQ 同时为真或同时为假的情况下为真。

真值表
PQP ↔ Q
真(T)真(T)真(T)
真(T)假(F)假(F)
假(F)真(T)假(F)
假(F)假(F)真(T)

此真值表描述了等价联结词 P ↔ Q 的逻辑行为:当 PQ 都为真或都为假时,P ↔ Q 是真;当 PQ 之一为真而另一为假时,P ↔ Q 是假。

命题符号化及其应用

速查表格

联结词记号复合命题读法记法真值结果
否定 ¬ \neg ¬ ¬ P \neg P ¬P非 PP 的否定-P 的真值为“真”当且仅当 P的真值为“假”
合取 ∧ \land P ∧ Q P \land Q PQP 并且 QP 合取 Q P ∧ Q P \land Q PQ 的真值为“真"当且仅当 P、Q 的真值同为“真”
析取 ∨ \lor P ∨ Q P \lor Q PQP 或者 QP 析取 Q P ∨ Q P \lor Q PQ 的真值为“真”当且仅当 P、Q 的真值至少一个为“真”
蕴涵 → \rightarrow P → Q P \rightarrow Q PQ若 P,则 QP 蕴涵 Q P → Q P \rightarrow Q PQ 的真值为“假”当且仅当 P的真值为“真”、Q 的真值为“假”
等价 ↔ \leftrightarrow P ↔ Q P \leftrightarrow Q PQ当且仅当 QP 等价于 Q P ↔ Q P \leftrightarrow Q PQ 的真值为“真”当且仅当 P、Q 的真值同为“真”或同为“假”

注意:

  • ∧ \land ∨ \lor 还有 ↔ \leftrightarrow 是有对称性的,而 ¬ \neg ¬ → \rightarrow 没有。

  • 联结词是两个命题真值之间的联结而不是命题内容之间的连接,因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值,而与它们的内容无关,与二者之间是否有关系无关。

优先级

所有五个联接词的优先顺序(数字越小越优先)为

  1. 否定
  2. 合取
  3. 析取
  4. 蕴涵
  5. 等价
  • 同级的联结词,按其出现的先后次序(从左到右);

  • 若运算要求与优先次序不一致时,可使用括号;

  • 同级符号相邻时,也可使用括号。括号中的运算为最高优先级。

在大多数编程语言中,否定(表现为!或者not)、合取(&&或者and)、析取(||或者or),这一顺序同样适用。

复合命题符号化

假设有命题:

  • P: 你陪伴我
  • Q: 你代我叫车子
  • R: 我将出去

下面是这些语句的符号化表示:

  1. 如果你陪伴我并且代我叫辆车子,则我将出去。

    • 符号化为: ( P ∧ Q ) → R (P\land Q)\rightarrow R (PQ)R
  2. 如果你不陪伴我或不代我叫辆车子,我将不出去。

    • 符号化为: ( ¬ P ∨ ¬ Q ) → ¬ R (\neg P \lor \neg Q)\rightarrow \neg R (¬P¬Q)¬R
  3. 除非你陪伴我或代我叫车子,否则我将不出去。

    • 符号化为: ( ¬ P ∧ ¬ Q ) → ¬ R (\neg P \land \neg Q)\rightarrow \neg R (¬P¬Q)¬R 或者可以表示为 ¬ ( P ∨ Q ) → ¬ R \neg(P \lor Q)\rightarrow \neg R ¬(PQ)¬R,依据德摩根定律。如果不使用否定符号,还可以写 R → ( P ∨ Q ) R \rightarrow (P \lor Q) R(PQ),也就是反过来。

布尔检索演示

  1. 同时包含“量子物理”和“弦理论”

    • Google搜索框输入: 量子物理 AND 弦理论
    • 数学符号表达式: 量子物理 ∧ 弦理论 量子物理 \land 弦理论 量子物理弦理论
  2. 包含“量子物理”但不包含“弦理论”

    • Google搜索框输入: 量子物理 -弦理论
    • 数学符号表达式: 量子物理 ∧ ¬ 弦理论 量子物理 \land \neg 弦理论 量子物理¬弦理论
  3. 包含“量子物理”或“相对论”

    • Google搜索框输入: 量子物理 OR 相对论
    • 数学符号表达式: 量子物理 ∨ 相对论 量子物理 \lor 相对论 量子物理相对论

命题变元

一个特定的命题是一个常值命题,不是真就是假。

一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题,常称为命题变量(命题变元),无具体真值。

当原子命题是命题变元,包含此原子命题的复合命题也即命题变元的函数,该函数称为真值函数或者命题公式

如下是一个命题函数:
G = P ∧ Q → ¬ R G = P \land Q \rightarrow \neg R G=PQ¬R

命题公式

命题演算的合式公式(well formed formula, wff),又称为命题公式,简称公式。

有三条规则生成合式公式:

  1. 命题变元本身是一个公式。
  2. G是公式,则 ( ¬ G ) (\neg G) (¬G)也是公式
  3. 如G、H是公式, ( G ∧ H ) (G \land H) (GH)是公式,诸如此类都是公式

由有限步使用上述三个规则后得到的符号串才是命题公式。

  • 原子命题变元是最简单的合式公式,称为原子合式公式,简称原子公式。
  • 命题公式没有真值,只有对命题变元进行真值指派后才可确定真值。
  • 整个公式最外层括号可以省略,不影响运算次序的括号也可省略。
  • 可以使用二元树的方式表达,如下图。

在这里插入图片描述

公式的解释

P 1 , P 2 , P 3 . . . , P n P_1, P_2, P_3..., P_n P1,P2,P3...,Pn是出现在公式 G G G中的所有命题变元,指定 P 1 , P 2 , P 3 . . . , P n P_1, P_2, P_3..., P_n P1,P2,P3...,Pn的一组真值,这组真值称为 G G G的一个解释,常记为 I I I

如果公式在解释 I I I下为真,称 I I I G G G成真赋值,为假则称为成假赋值

真值表

一般来说,如果有 n n n个命题变元,则有 2 n 2^n 2n个不同解释。

由公式 G G G在其所有可能解释下所取真值构成的表,称为 G G G真值表

真值表画法
在这里插入图片描述

示例真值表

在这里插入图片描述

命题公式的分类

  1. 永真公式(重言式, tautology):公式的所有解释下真值都为
  2. 永假公式(矛盾式, contradiction):公式的所有解释下真值都为
  3. 可满足公式(satisfiable),在此公式不是永假公式的情况下,永真公式一定是可满足公式。

公式的逻辑等价

定义

对于两个命题公式 G , H G, H G,H,如果它们的命题变元是 P 1 , P 2 , P 3 . . . P n P_1, P_2, P_3 ... P_n P1,P2,P3...Pn,那么对应的有 2 n 2^n 2n个解释,如果这些解释中,G和H的真值结果全都相同,则称G和H为等价的,记作 G = H G = H G=H(或者 G ⇔ H G \Leftrightarrow H GH)。

定理

G = H G = H G=H的充分必要条件为: G ↔ H G \leftrightarrow H GH永真公式

可判定性:可完成对任意公式的判定类问题,命题公式是可判定的。(类型或等价判定)

命题公式的逻辑律、基本等价关系

有了这些逻辑律和等价关系,我们就可以进行巧妙地证明、化简、求解了。

可用于化简门电路、化简判断逻辑来进行优化性能。

幂等律 (Idempotent Laws)

  • 逻辑与的幂等律: G ∧ G ≡ G G \land G \equiv G GGG
  • 逻辑或的幂等律: G ∨ G ≡ G G \lor G \equiv G GGG

交换律 (Commutative Laws)

  • 逻辑与的交换律: G ∧ H ≡ H ∧ G G \land H \equiv H \land G GHHG
  • 逻辑或的交换律: G ∨ H ≡ H ∨ G G \lor H \equiv H \lor G GHHG

结合律 (Associative Laws)

  • 逻辑与的结合律: ( G ∧ H ) ∧ I ≡ G ∧ ( H ∧ I ) (G \land H) \land I \equiv G \land (H \land I) (GH)IG(HI)
  • 逻辑或的结合律: ( G ∨ H ) ∨ I ≡ G ∨ ( H ∨ I ) (G \lor H) \lor I \equiv G \lor (H \lor I) (GH)IG(HI)

同一律 (Identity Laws)

  • 逻辑与的同一律: G ∧ True ≡ G G \land \text{True} \equiv G GTrueG
  • 逻辑或的同一律: G ∨ False ≡ G G \lor \text{False} \equiv G GFalseG

零律 (Domination Laws)

  • 逻辑与的零律: G ∧ False ≡ False G \land \text{False} \equiv \text{False} GFalseFalse
  • 逻辑或的零律: G ∨ True ≡ True G \lor \text{True} \equiv \text{True} GTrueTrue

分配律 (Distributive Laws)

  • 逻辑与对逻辑或的分配律: G ∧ ( H ∨ I ) ≡ ( G ∧ H ) ∨ ( G ∧ I ) G \land (H \lor I) \equiv (G \land H) \lor (G \land I) G(HI)(GH)(GI)
  • 逻辑或对逻辑与的分配律: G ∨ ( H ∧ I ) ≡ ( G ∨ H ) ∧ ( G ∨ I ) G \lor (H \land I) \equiv (G \lor H) \land (G \lor I) G(HI)(GH)(GI)

吸收率 (Absorption Laws)

  • 逻辑与的吸收率: G ∧ ( G ∨ H ) ≡ G G \land (G \lor H) \equiv G G(GH)G
  • 逻辑或的吸收率: G ∨ ( G ∧ H ) ≡ G G \lor (G \land H) \equiv G G(GH)G

矛盾律 (Contradiction Law)

  • G ∧ ¬ G ≡ False G \land \lnot G \equiv \text{False} G¬GFalse

排中律 (Law of Excluded Middle)

  • G ∨ ¬ G ≡ True G \lor \lnot G \equiv \text{True} G¬GTrue

双重否定律 (Double Negation Law)

  • ¬ ( ¬ G ) ≡ G \lnot (\lnot G) \equiv G ¬(¬G)G

德摩根律 (De Morgan’s Laws)

  • ¬ ( G ∧ H ) ≡ ¬ G ∨ ¬ H \lnot (G \land H) \equiv \lnot G \lor \lnot H ¬(GH)¬G¬H
  • ¬ ( G ∨ H ) ≡ ¬ G ∧ ¬ H \lnot (G \lor H) \equiv \lnot G \land \lnot H ¬(GH)¬G¬H

蕴含式 (Implication)

  • G → H ≡ ¬ G ∨ H G \rightarrow H \equiv \lnot G \lor H GH¬GH

假言易位 (Contrapositive)

  • ( G → H ) ≡ ( ¬ H → ¬ G ) (G \rightarrow H) \equiv (\lnot H \rightarrow \lnot G) (GH)(¬H¬G)

等价式 (Equivalence)

  • ( G ↔ H ) ≡ ( G → H ) ∧ ( H → G ) (G \leftrightarrow H) \equiv (G \rightarrow H) \land (H \rightarrow G) (GH)(GH)(HG)

等价否定式 (Negation of Equivalence)

  • ( G ↔ H ) ≡ ¬ G ↔ ¬ H (G \leftrightarrow H) \equiv \neg G \leftrightarrow \neg H (GH)¬G¬H

归谬论 (Reductio ad absurdum)

  • ( ¬ G → False ) → G (\lnot G \rightarrow \text{False}) \rightarrow G (¬GFalse)G

范式 (Normal Form)

  • 有限个简单合取式(短语)的析取称为析取范式(disjunctive normal form)。
  • 有限个简单析取式(子句)的合取成为合取范式(conjunctive normal form)。

文字 (Literal)

命题变元和命题变元的否定都是文字。

例如,在表达式 ( p ∨ ¬ q ) (p \lor \lnot q) (p¬q) 中, p p p ¬ q \lnot q ¬q 都是文字。

子句 (Clause)

有限个文字的析取成为简单析取式(或子句)。

短语 (Phrase)

有限个文字的合取成为简单合取式(或短语)。

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