多数问题求解之蒙特卡洛与分治法

多数问题（Majority Problem）是一个有多种求解方法的经典问题，其问题定义如下：

给定一个大小为 $n$ 的数组，找出其中出现次数超过 $n /2$ 的元素

例如：当输入数组为 $[5, 3, 5, 2, 3, 5, 5]$ ，则 $5$ 是多数（majority）。

本文将介绍该问题的多种求解方法，重点介绍蒙特卡洛与分治法2种。

1. 解决思路

面对一个未知的算法问题，我们最开始很自然地会使用简单粗暴的方法。

1.1 暴力解法

暴力解法就是遍历整个数组，依次判断每个元素是否是多数。其伪代码如下：

Majority(A[1, n])
for(i = 1 to n)cnt = 1for(j = 1 to n)if (i != j and A[i]==A[j])cnt++endif (cnt > n/2) return "A[i] is the majortiy"endreturn "No majority"

暴力算法的缺点就是费时间，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。那有什么办法能少一些遍历的时间代价呢？哈希表就是一种用空间换时间的方法。

1.2 哈希表

上面的暴力解法中，我们在循环遍历中更新元素出现的次数，然后再判断是否是多数。可以改为只遍历数组一次，用哈希表记录每个元素出现的次数，然后再遍历哈希表找到出现次数最大的元素，判断其出现次数是否超过 $n /2$ 。

这样时间复杂度降为了 $O (n)$ ，空间复杂度为 $O (n)$ 。时间复杂度还能更优化一点吗？下面让我们来看下分治法的求解思路。

1.3 分治法

我们把原始数组分为两半：在前一半子数组中，找到多数 $A$ ；在后一半子数组中，找到多数 $B$ 。那么原始数组的多数一定在 $A$ 与 $B$ 之间，当二者相等时，原始数组的多数就已经找到了；当二者不等时，比较 $A$ 与 $B$ 出现的次数哪个大于 $n /2$ 即可。

算法的时间复杂度 $T(n)=T(n/2)+2n=O(n\log{n})$ 。具体的C语言代码实现可参见第2节。

1.4 蒙特卡洛法

蒙特卡罗（Monte Carlo）算法是一种随机算法，在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。

在多数问题中，蒙特卡洛法的思想是随机从数组中选择一个元素，判断是否是多数。如果不是多数的话，再随机选择一个。在存在多数的情况下，因为随机选择到多数的概率超过 $\frac{1}{2}$ ，算法找不到多数的概率小于 $\frac{1}{2}$ 。

该算法的平均时间复杂度为 $O (n)$ 。

2. 代码

以下C语言代码依次实现了Monte Carlo以及分治法求解多数问题，并比较了两种算法的运行时间。

首先用户需输入测试数据的文件路径，按下回车键。
然后进入Monte Carlo模式需输入重复的次数。
待用户输入完成，按下回车键后，对Monte Carlo算法求解多数问题计时开始，直至输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。
Monte Carlo结束后直接进入分治法求解，开始计时，直至分治法输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <windows.h> using namespace std;const int N = 2000000;        //定义数组的最大长度 int a[N];bool majorityMC_once(int a[], int len, int *result) { //对长度为len的数组a[]进行一次蒙特卡洛寻找多数 int rnd = rand() % len;  //生成[0, len-1)的一个随机下标 int x = a[rnd];int count = 0;           //记录 x 在数组a[]中出现的次数 for (int i = 0; i < len; i++) { if (a[i] == x) {count++;}}if (count > (len / 2)) { //若 x 出现次数超过数组长度的一半，则一次蒙特卡洛找到多数，返回true *result = x;         //将找到的多数的值传给result return true;} else {                   //否则，一次蒙特卡洛未找到多数，返回false return false;}
}bool majorityMC_k_times(int a[], int len, int *result, int k) { //k次蒙特卡洛 for (int i = 1; i <= k; i++) {if(majorityMC_once(a, len, result)) { //只要有一次蒙特卡洛找到多数，则返回true              return true;}} return false;                             //k次蒙特卡洛均未找到多数，则返回false 
}bool majorityDC(int a[], int start, int end, int *result) { //分治法求解多数问题，数组下标区间为[start, end] if (start == end) {*result = a[end];return true;}else {int m1, m2;majorityDC(a, start, (start + end) / 2, &m1);    //m1为前半区间[start, (start + end) / 2]的多数 majorityDC(a, (start + end) / 2 + 1, end, &m2);  //m2为后半区间[(start + end) / 2 + 1, end]的多数 int count1 = 0, count2 = 0;for (int i = start; i <= end; i++) {if (a[i] == m1) {     //count1记录m1在数组a[]中出现的次数 count1++;}if (a[i] == m2) {     //count2记录m2在数组a[]中出现的次数 count2++;}}if (count1 > ((end - start + 1) / 2)) { //m1在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m1为多数 *result = m1;return true;} else if (count2 > ((end - start + 1) / 2)) { //m2在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m2为多数 *result = m2;return true;}else {  return false;         //m1, m2均不是多数，则数组a[]的多数不存在}}
}int main() {srand(time(NULL));  //设置时间函数time(NULL)为随机数种子 char s[100];cout << "请输入测试数据文件路径：" << endl;cin >> s; FILE *fp;fp = fopen(s, "r");if (fp == NULL) {cout << "Can not open the file!" << endl;exit(0);}int i = 0;while (fscanf(fp, "%d\n", &a[i]) != EOF) {  //读取文件中的数据到数组a[]中 i++;}fclose(fp); cout << "********************** Monte Carlo *********************" << endl;int k;cout << "请输入 Monte Carlo 重复的次数： ";cin >> k;LARGE_INTEGER nFreq;LARGE_INTEGER nBeginTime;LARGE_INTEGER nEndTime;QueryPerformanceFrequency(&nFreq);QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //Monte Carlo计时开始 int resultMC;if (majorityMC_k_times(a, i, &resultMC, k)) {cout << resultMC << " is the majority" << endl;} else {cout << "Can not find the majority!" << endl;}QueryPerformanceCounter(&nEndTime);  //Monte Carlo计时结束 double time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;cout << endl;cout << "****************** Divide and Conquer ******************" << endl;QueryPerformanceFrequency(&nFreq);QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //分治法计时开始 int resultDC;if (majorityDC(a, 0, i - 1, &resultDC)) {cout << resultDC << " is the majority" << endl;} else {cout << "Can not find the majority!" << endl;}QueryPerformanceCounter(&nEndTime);    //分治法计时结束 time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;return 0;
}