Chapter 13 Techniques of Design-Oriented Analysis: The Feedback Theorem

从这一章开始讲负反馈Control系统和小信号建模.

13.2 The Feedback Theorem

首先介绍 Middlebrook’s Feedback Theorem

考虑下面负反馈系统

传输函数 G=uo/ui
$$G(s)=\frac{u_o}{u_i}=G_{\infty }\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$$
T为Loop Gain 环路的增益
$$T(s)=\frac{u_y(s)}{u_x(s)}{|}_{ui=0}$$
ideal forward gain 理想正向增益, G_inf为通过uz 消除(null) uy后, ui到uo的传输函数.

G_inf其实就是利用运放虚短和虚断来推导Vout/Vin
$$G_{\infty }(s)=\frac{u_o(s)}{u_i(s)}{|}_{u_y\to 0}$$
当Loop Gain T-> inf时, G=G_inf

G0为通过uz 消除(null) ux后, ui到uo的传输函数
$$G_0(s)=\frac{u_o(s)}{u_i(s)}{|}_{u_x\to 0}$$
当Loop Gain T-> 0时, G=G0

Null loop Gain Tn(s): 引入Uz来消除null uo(s)
$$T_n(s)=\frac{u_y(s)}{u_x(s)}{|}_{u_0\to 0}$$

$$\frac{T_n(s)}{T(s)}=\frac{G_{\infty }(s)}{G_0(s)}$$

13.3 Example: Op Amp PD Compensator Circuit

我们以下面负反馈op-amp为例

假设运放为单极点系统
$$G_{op}(s)=\frac{G_{op0}}{(1+\frac{s}{{\omega }_1})}$$
Voltage injection模型为

Ideal forward gain: 其实就是利用运放虚短和虚断来推导Vout/Vin, 即G_inf
$$G_{\infty }(s)=\frac{v_{out}(s)}{v_{in}(s)}{|}_{v_y\to 0}$$
vy null to 0, 因此op输入端v-也被null to 0.

我们可以用运放的虚短和虚断特性来推导vout/vin. v- = v+ = 0即virtual ground

Loop Gain, T(s) 环路的增益.
$$T(s)=\frac{v_{out}}{v_x}\frac{v{}^{-}}{v_{out}}\frac{v_y}{v{}^{-}}$$
前两项就是电阻电容的voltage divider传输函数, 第三项为Gop

G0为调节Vz, 从而Vx nulled to 0. 即运放输出为0
$$G_0(s)=\frac{v_{out}(s)}{v_{in}(s)}{|}_{v_x\to 0}$$

因此G0也是电阻电容的voltage divider传输函数

Tn为null output的loop gain

$$T_n(s)=\frac{v_y(s)}{v_x(s)}{|}_{v_{out}\to 0}$$

因此Loop Gain可推导为
$$T(s)=\frac{G_0(s)T_n(s)}{G_{\infty }(s)}$$

最终Transfer Function, G= Vout/Vin
$$G(s)=\frac{v_{out}}{v_{in}}=G_{\infty }\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$$

f<30MHz, G0/(1+T)很小,

当f<fc (crossover frequency),G = G_inf

当f>fc (crossover frequency), G和G_inf差异很大

13.4 Example: Closed-Loop Regulator

Chapter 14 Circuit Averaging, Averaged Switch Modeling, and Simulation

这一章讲电路的平均化 Circuit averaging.

其核心思想就是把switch+diode替换成理想开关, 然后加上小信号模型

buck, boost, general two-switch的小信号模型如下

这样就能推导出converter的小信号模型了

对于电力电子系统的设计和仿真, 分为三种:

1. 利用自带的器件库, 采用Cadence, SPICE, LTSpice等工具进行transient仿真. 好处精度高, 坏处费时费力.
2. 简化器件模型, MOS换成Ron, 用PLECS and SIMPLIS仿真
3. 平均化模型. 研究steady-state下电压,电流波形, 忽略ripple. 研究小信号模型. 可以给设计insight提供指导.