2024/03/19：程序更新说明（文末程序下载链接已更新）

版本：v1.0 → v1.2

① 修复：将 CLOSED 表内容从优先级队列中分离开来，原优先级队列作 OPEN 表，并用链表树隐式地代替 CLOSED 表，以此修复之前版本内存爆炸的问题（尤其以 HC 爬山法严重）；

② 优化：实时搜索树动态绘制，而非总是保持 10 行；

③ 其它：优化代码，修复其它的一些小问题；

一、写在前面

许久没有写图形化界面的程序了，最近学习了一些经典的盲目搜索算法与智能搜索算法，正好拿来还原三阶魔方！试试手！

提前声明

我不是专业搞人工智能的，理论或者实现过程有些许错误也很正常，评论区指出即可

先说一下开发环境吧！源码及打包程序的下载链接放在文末！

1.1 开发环境

编程语言：Python 3.12

图形界面库：tkintertools 2.6.21.1（底层为 tkinter）

第三方依赖库：tkintertools 2.6.21.1（就这么一个）

二、程序概览

2.1 代码情况

代码量：1000 行左右

代码大小：34KB

2.2 图片展示

2.3 详细功能

左侧是 3D 显示区，鼠标左键旋转，右键平移，滚轮缩放。

右侧是设定区，点击“开始搜索并还原”时会弹出搜索树弹窗，点击“随机打乱”左边的“/”会弹出“自定义打乱顺序”弹窗。

算法对应表：

缩写	BFS	DFS	UCS	A / A*	HC	REV（测试常用）
说明	宽度优先	深度优先	代价优先	A 或者 A* 算法	爬山法	不是算法，逆序还原

 启发函数对应表：

缩写	CBSV	ECLD	MHT	HM	MKWSK	/
说明	切比雪夫距离	欧几里得距离	曼哈顿距离	汉明距离	闵可夫斯基距离	h*

自定义顺序说明：

每个项目由三个部分组成：编号，方向，旋向

方向对应表：

缩写	R	L	U	D	F	B
说明	右（Right）	左（Left）	上（Up）	下（Down）	前（Front）	后（Back）

 旋向有两个：顺时针和逆时针，对应开关的两种状态

三、实现过程分析

3.1 状态表示

三阶魔方一共有 3³ =27 个方块，于是使用 1×27 大小的数组来表示每个方块的位置，给它们编号 0~26，当编号与其数组索引一致时，表示魔方为还原状态。

当然，由于魔方的特性，这 27 个位置中有些并不会改变。比如，当操作不涉及中转的时候，有 1+1×6 = 7 个方块永远不会改变位置，而当操作涉及中转的时候，只有中心处方块不会改变位置。为了方便表示，仍然采用整个 1×27 大小的数组表示状态。

3.2 操作方式

分两种情况：

• 当不允许三阶魔方中转的时候，操作共有 6×2 = 12 种，即在魔方 6 个面上顺时针旋转 90°或者逆时针旋转 90°。
• 当允许三阶魔方中转的时候，共有 (6+3)×2 = 18 种，即在第一种情况下加上了三个坐标轴垂直的三个中间面的旋转。

当然，经分析，我认为采用第 1 种情况可能会得到更好结果。

对于第一种情况，魔方将有 1+1×6 = 7 个位置始终固定，使得在完成几乎相同功能的前提下，搜索空间会小一点，且，还原的最终结果只有1个，那就是数组元素与其索引一致。

但反观第二种情况，魔方只有最中间 1 个元素始终固定，在使得搜索空间变大的情况下，还会导致一个程序中不方便处理的问题。因为在这个时候，你会发现，魔方还原的目标状态不只“数组元素与其索引一致”这么一种情况，虽然这可以提高发现目标节点的概率，但搜索空间也变大了，程序实现起来比较麻烦，效率也不见得比第 1 种好。

3.3 启发函数的设计

魔方数据在数组中体现为 1×27，并不方便于直接进行代价的估计，但其在空间上实际是 3×3×3 的，每个方块都有其对应的坐标，于是可以计算每个方块当前位置与目标位置之间的某种差异，并以此作为估计值。

选用的基本启发函数有切比雪夫距离、欧几里得距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离，同时尝试了一下汉明距离。

不知道什么是切比雪夫距离、欧几里得距离等的朋友，可以去百度一下。

设上述距离对应的启发函数分别为 、、、 和 。

其中闵可夫斯基距离拥有可调节的参数 p，我这里动态地根据问题的规模大小设计其值。而汉明距离并非一个空间上的关系，它是从数组的数据上直接进行考虑的，即目标数组与当前数组的差异。

对于上述的启发函数，并非所有都满足可纳性。由于魔方转动一次只能转动一个面，也就是说，方块只能在一个面上移动，对于方块，分两种情况：

• 角方块：每次旋转都是沿坐标方向的，对应曼哈顿距离；
• 边方块：每次旋转都是沿斜直线方向，对应欧几里得距离；
• 面中心方块：始终没有任何移动，计算时不考虑它。

每个面上角方块与边方块各占一半，故 ，但是有：

因此有：

已知，对于闵可夫斯基距离，参数 p=1 时，，参数 p=2 时，，参数 p=+∞ 时，，可通过调控其参数 p 来控制其最终效果。

汉明距离并非空间上的距离，属于抽象距离，无法与上面的进行比较。

综上，启发函数为切比雪夫距离、欧几里得距离时，算法为 A* 算法，曼哈顿距离对应的为 A 算法，闵可夫斯基距离是否为 A* 算法与参数 p 有关，汉明距离对应的暂时无法确定。

3.4 算法实现

BFS：用队列实现

DFS：用堆栈实现

UCS：用优先级队列实现，评估函数 F = 代价函数 G

A/A*：用优先级队列实现，评估函数 F = 代价函数 G + 启发函数 H

HC：用优先级队列实现，评估函数 F = 启发函数 H

3.5 结果显示方法

结果采用三种方式进行可视化。

• 搜索之前的打乱魔方与搜索之后的还原魔方通过 3D 魔方实时演示旋转过程；
• 搜索过程之中，通过进度条得知总搜索空间的大小以及当前搜索的空间大小，直观显示其百分占比，并实时显示搜索次数，搜索完成后显示还原步骤的数量；
• 搜索过程中实时展示搜索树，由于此数的每层节点数量是指数级增长的，于是就需要将其对数化后以线性的方式的进行展示，层数越大，颜色越深，搜索完毕后标识出搜索路径。

这里说一下为什么实际搜索的状态空间是 11 的 n 次方，而不是 12 的 n 次方，因为每次操作，虽然有 12 步，但实际我们手动不允许它执行与上次转动相反的操作，因为你顺时针转一下，再逆时针转一下，那不等于没转吗？

别小看这点优化，11⁶ = 1771561，12⁶ = 2985984，仅 6 步，相差多少自己看看。

四、写在后面

4.1 开源图形库

本程序使用的 tkintertools 是我自己一个人开发的图形界面库，基于 tkinter，实现了一些 tkinter 没有的功能，里面还有一个可以称为“微型 3D 引擎”的子模块，上述 3D 效果就是这样实现的，此外还提供了较为强大的动画能力，希望大家能支持一下下！

GitHub repo：GitHub - Xiaokang2022/tkintertools

github.io: Profile - 简介 - tkintertools (xiaokang2022.github.io)

4.2 源代码下载

链接文件包含了源代码，以及已经打包好，可以直接运行的 exe 文件。

源代码及打包程序下载链接：Magic Cube v1.2.zip - 蓝奏云

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