1、引言

小屌丝：鱼哥， K均值聚类 我不懂，能不能给我讲一讲？
小鱼：行，可以
小屌丝：额…今天咋直接就答应了？
小鱼：不然呢？
小屌丝：有啥条件，直接说，
小鱼：没有
小屌丝：这咋的了，不提条件，我可不踏实
小鱼：你看看你， 我不提条件，你还不踏实，那你这是非让我提条件呗
小屌丝：我…这…我…
小鱼：既然你都让我提条件了，那我就说吧
小屌丝： …
小鱼：最近好长时间没撸串了哈。
小屌丝：…

小鱼：你看看，让我提条件， 还这表情。那算了。
小屌丝：别别别， 可以可以。
小鱼： 这是，可以去吃，还是别提条件？
小屌丝：去撸串> <

2、K均值聚类

2.1 定义

K均值聚类是一种无监督学习算法，旨在将数据划分为K个不相交的簇，使得每个数据点都属于离其最近的簇的质心。

质心是每个簇中所有数据点的平均值，代表该簇的中心位置。

2.2 原理

K均值聚类的原理基于迭代优化。

• 算法首先随机选择K个初始质心，然后将每个数据点分配给最近的质心所在的簇。
• 接下来，算法重新计算每个簇的质心位置，即该簇内所有数据点的平均值。

这个过程不断重复，直到满足某个停止条件，如质心位置不再发生显著变化或达到最大迭代次数。

2.3 实现方式

K均值聚类的实现主要包括以下步骤：

• 初始化：随机选择K个数据点作为初始质心。
• 分配数据点到簇：对于每个数据点，计算其与所有质心的距离，并将其分配给最近的质心所在的簇。
• 更新质心：对于每个簇，重新计算其质心位置，即该簇内所有数据点的平均值。
• 重复迭代：重复步骤2和3，直到质心位置不再发生显著变化或达到最大迭代次数。

2.4 算法公式

2.4.1 距离计算公式

对于每个数据点，计算其与每个中心点之间的距离。常用的距离计算公式是欧氏距离公式：
$$d(x,y)=sqrt((x1-y1{)}^2+(x2-y2{)}^2+\dots +(xn-yn{)}^2)$$
其中，$x$和$y$分别表示两个数据点的特征向量，$n$表示特征的维度。

2.4.1 中心点计算公式

中心点更新公式：$$Ck=(1/|Sk|)\ast \Sigma xi$$
其中$Ck$为第$k$个类别的中心点，$Sk$为第$k$个类别中的数据点集合。

2.5 代码示例

# -*- coding:utf-8 -*-
# @Time   : 2024-03-13
# @Author : Carl_DJ'''
实现功能：实scikit-learn库实现K均值聚类'''
import numpy as np  # 假设我们有一个二维数据集X  
X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0], [10, 2], [10, 4], [10, 0]])  # 设定簇的数量  
K = 2  # 步骤1: 初始化质心  
# 随机选择K个数据点作为初始质心  
np.random.seed(0)  # 为了可重复性设置随机种子  
initial_centroids = X[np.random.choice(range(X.shape[0]), K, replace=False)]  
centroids = initial_centroids  # 迭代过程  
max_iterations = 100  # 最大迭代次数  
tolerance = 1e-4  # 收敛阈值  
has_converged = False  
iteration = 0  while not has_converged and iteration < max_iterations:  # 步骤2: 分配数据点到簇  # 对于每个数据点，计算其与所有质心的距离，并将其分配给最近的质心所在的簇  labels = []  for x in X:  distances = np.linalg.norm(x - centroids, axis=1)  label = np.argmin(distances)  labels.append(label)  labels = np.array(labels)  # 旧的质心位置，用于收敛性检查  old_centroids = centroids.copy()  # 步骤3: 更新质心  # 对于每个簇，重新计算其质心位置，即该簇内所有数据点的平均值  new_centroids = np.array([X[labels == i].mean(axis=0) for i in range(K)])  centroids = new_centroids  # 步骤4: 检查收敛性  # 如果质心不再发生显著变化，则算法收敛  if np.allclose(old_centroids, centroids, atol=tolerance):  has_converged = True  iteration += 1  # 输出结果  
print("Iterations:", iteration)  
print("Labels:", labels)  
print("Centroids:", centroids)

代码解析
实现K均值聚类的完整过程：

• 初始化质心：通过np.random.choice随机选择K个数据点作为初始质心。

• 分配数据点到簇：对于数据集中的每个数据点，我们计算它与所有质心的距离，并将其分配给最近的质心所在的簇。这通过遍历数据点，计算每个点到所有质心的欧几里得距离，并找到最近的质心来完成。

• 更新质心：对于每个簇，我们计算该簇内所有数据点的平均值作为新的质心位置。这通过分组数据点（基于它们的簇标签）并计算每组的平均值来实现。

• 检查收敛性：我们检查新的质心位置是否与旧的质心位置非常接近（在容忍度范围内）。如果是，则算法已经收敛，可以停止迭代。否则，我们继续迭代过程。

• 重复迭代：如果算法没有收敛，我们重复步骤2到步骤4，直到达到最大迭代次数或算法收敛为止。

3、总结

K均值聚类是一种简单而有效的无监督学习算法，能够自动将数据划分为K个不同的簇。

通过迭代优化过程，算法将数据点分配给最近的质心，并重新计算质心位置，直到满足停止条件。

K均值聚类在数据处理、图像分割和模式识别等领域具有广泛的应用。

然而，它也有一些局限性，如对初始质心的选择敏感、可能陷入局部最优解等。

在实际应用中，需要根据具体任务和数据特点选择合适的算法和参数。

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