第十三届蓝桥杯省赛真题 Java 研究生组【原卷】

文章目录

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【考生须知】
试题 A: 排列字母
试题 B: 灭鼠先锋
试题 C: 质因数个数
试题 D: 数位排序
试题 E: 蜂巢
试题 $\mathrm{F}:$ 爬树的甲壳虫
试题 G: 重新排序
试题 $\mathrm{H}$ : 技能升级
试题 I: 最优清零方案
试题 $\mathrm{J}:$ 推导部分和

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第十三届蓝桥杯大赛软件赛省赛 Java 研究生组

【考生须知】

考试开始后, 选手首先下载题目, 并使用考场现场公布的解压密码解压试题。

考试时间为 4 小时。考试期间选手可浏览自己已经提交的答案, 被浏览的答案允许拷贝。时间截止后，将无法继续提交或浏览答案。

对同一题目, 选手可多次提交答案, 以最后一次提交的答案为准。

选手必须通过浏览器方式提交自己的答案。选手在其它位置的作答或其它方式提交的答案无效。

试题包含 “结果填空” 和 “程序设计” 两种题型。

结果填空题: 要求选手根据题目描述直接填写结果。求解方式不限。不要求源代码。把结果填空的答案直接通过网页提交即可, 不要书写多余的内容。

程序设计题: 要求选手设计的程序对于给定的输入能给出正确的输出结果。考生的程序只有能运行出正确结果才有机会得分。

注意: 在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。选手的程序必须是通用的, 不能只对试卷中给定的数据有效。

所有源码必须在同一文件中。调试通过后，拷贝提交。

注意: 不要使用 package 语句。

注意：选手代码的主类名必须为: Main, 否则会被判为无效代码。

注意: 如果程序中引用了类库, 在提交时必须将 import 语句与程序的其他部分同时提交。只允许使用 Java 自带的类库。

试题 A: 排列字母

本题总分: 5 分

【问题描述】

小蓝要把一个字符串中的字母按其在字母表中的顺序排列。

例如, LANQIAO 排列后为 AAILNOQ。

又如, GOODGOODSTUDYDAYDAYUP 排列后为 AADDDDDGGOOOOPSTUUYYY

请问对于以下字符串, 排列之后字符串是什么?

WHERETHEREISAWILLTHEREISAWAY

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个由大写字母组成的字符串, 在提交答案时只填写这个字符串, 填写多余的内容将无法得分。

试题 B: 灭鼠先锋

本题总分: 5 分

【问题描述】

灭鼠先锋是一个老少咸宜的棋盘小游戏, 由两人参与, 轮流操作。

灭鼠先锋的棋盘有各种规格, 本题中游戏在两行四列的棋盘上进行。游戏的规则为: 两人轮流操作, 每次可选择在棋盘的一个空位上放置一个棋子, 或在同一行的连续两个空位上各放置一个棋子, 放下棋子后使棋盘放满的一方输掉游戏。

小蓝和小乔一起玩游戏, 小蓝先手, 小乔后手。小蓝可以放置棋子的方法很多, 通过旋转和翻转可以对应如下四种情况:

在这里插入图片描述

其中 0 表示棋盘上的一个方格为空， $\mathrm{x}$ 表示该方格已经放置了棋子。

请问, 对于以上四种情况, 如果小蓝和小乔都是按照对自己最优的策略来玩游戏, 小蓝是否能获胜。如果获胜, 请用 $\mathrm{V}$ 表示, 否则用 $\mathrm{L}$ 表示。请将四种情况的胜负结果挍顺序连接在一起提交。

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个长度为 4 的由大写字母 $\mathrm{V}$ 和 $\mathrm{L}$ 组成的字符串, 如 VVLL, 在提交答案时只填写这个字符串, 填写多余的内容将无法得分。

试题 C: 质因数个数

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 10 分

【问题描述】

给定正整数 $n$ , 请问有多少个质数是 $n$ 的约数。

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数 $n$ 。

【输出格式】

输出一个整数, 表示 $n$ 的质数约数个数。

【样例输入】

$\begin{array}{llllll}396\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llllll}3\end{array}$

【样例说明】

396 有 $2, 3, 11$ 三个质数约数。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq n \leq 10000$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq n \leq 10^{9}$ 。

对于所有评测用例, $\leq n \leq 10^{16}$ 。

试题 D: 数位排序

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分： 10 分

【问题描述】

小蓝对一个数的数位之和很感兴趣, 今天他要按照数位之和给数排序。当两个数各个数位之和不同时, 将数位和较小的排在前面, 当数位之和相等时,将数值小的排在前面。

例如, 2022 排在 409 前面, 因为 2022 的数位之和是 6 , 小于 409 的数位之和 13 。

又如, 6 排在 2022 前面, 因为它们的数位之和相同, 而 6 小于 2022 。

给定正整数 $n, m$ , 请问对 1 到 $n$ 采用这种方法排序时，排在第 $m$ 个的元素是多少?

【输入格式】

输入第一行包含一个正整数 $n$ 。

第二行包含一个正整数 $m$ 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数, 表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{llllll}13\end{array}$

$\begin{array}{llllll}5\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llllll}3\end{array}$

【样例说明】

1 到 13 的排序为: $1, 10, 2, 11, 3, 12, 4, 13, 5, 6, 7, 8, 9$ 。第 5 个数为 3 。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq m \leq n \leq 300$ 。

对于 $\%$ 的评测用例， $\leq m \leq n \leq 1000$ 。

对于所有评测用例， $\leq m \leq n \leq 10^{6}$ 。

试题 E: 蜂巢

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

蜂巢由大量的六边形拼接而成, 定义蜂巢中的方向为: 0 表示正西方向, 1 表示西偏北 $60^{\circ}, 2$ 表示东偏北 $60^{\circ}, 3$ 表示正东, 4 表示东偏南 $60^{\circ}, 5$ 表示西偏南 $60^{\circ}$ 。

对于给定的一点 $O$ , 我们以 $O$ 为原点定义坐标系, 如果一个点 $A$ 由 $O$ 点先向 $d$ 方向走 $p$ 步再向 $\bmod 6$ 方向 ( $d$ 的顺时针 $120^{\circ}$ 方向) 走 $q$ 步到达, 则这个点的坐标定义为 $(d, p, q)$ 。在蜂窝中, 一个点的坐标可能有多种。

下图给出了点 $B (0, 5, 3)$ 和点 $C (2, 3, 2)$ 的示意。

在这里插入图片描述

给定点 $\left(d_{1}, p_{1}, q_{1}\right)$ 和点 $\left(d_{2}, p_{2}, q_{2}\right)$ , 请问他们之间最少走多少步可以到达?

【输入格式】

输入一行包含 6 个整数 $d_{1}, p_{1}, q_{1}, d_{2}, p_{2}, q_{2}$ 表示两个点的坐标, 相邻两个整数之间使用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示两点之间最少走多少步可以到达。

【样例输入】

$\begin{array}{llllll}0 & 5 & 3 & 2 & 3 & 2\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llllll}7\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $p_{1}, p_{2} \leq 10^{3}$ ;

对于 $\%$ 的评测用例, $p_{1}, p_{2} \leq 10^{5}$ ;

对于 $\%$ 的评测用例, $p_{1}, p_{2} \leq 10^{7}$ ;

对于所有评测用例, $\leq d_{1}, d_{2} \leq 5,0 \leq q_{1}<p_{1} \leq 10^{9}, 0 \leq q_{2}<p_{2} \leq 10^{9}$ 。

试题 $\mathrm{F}:$ 爬树的甲壳虫

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

有一只甲壳虫想要爬上一颗高度为 $n$ 的树, 它一开始位于树根, 高度为 0 ,当它尝试从高度 $i - 1$ 爬到高度为 $i$ 的位置时有 $P_{i}$ 的概率会掉回树根, 求它从树根爬到树顶时，经过的时间的期望值是多少。

【输入格式】

输入第一行包含一个整数 $n$ 表示树的高度。

接下来 $n$ 行每行包含两个整数 $x_{i}, y_{i}$ , 用一个空格分隔, 表示 $P_{i}=\frac{x_{i}}{y_{i}}$ 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案, 答案是一个有理数, 请输出答案对质数 998244353 取模的结果。其中有理数 $\frac{a}{b}$ 对质数 $P$ 取模的结果是整数 $c$ 满足 $\leq c<P$ 且 $\cdot b \equiv a(\bmod P)$ 。

【样例输入 1】

$\begin{array}{llllll}1\end{array}$

$\begin{array}{llllll}1&2\end{array}$

【样例输出 1】

$\begin{array}{llllll}2\end{array}$

【样例输入 2】

$\begin{array}{llllll}3\end{array}$

$\begin{array}{llllll}1&2\end{array}$

$\begin{array}{llllll}3&5\end{array}$

$\begin{array}{llllll}7&11\end{array}$

【样例输出 2】

$\begin{array}{llllll}623902744\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 2,1 \leq x_{i}<y_{i} \leq 20$ ，

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 500,1 \leq x_{i}<y_{i} \leq 200$ ；

对于所有评测用例, $\leq n \leq 100000,1 \leq x_{i}<y_{i} \leq 10^{9}$ 。

试题 G: 重新排序

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 20 分

【问题描述】

给定一个数组 $A$ 和一些查询 $L_{i}, R_{i}$ , 求数组中第 $L_{i}$ 至第 $R_{i}$ 个元素之和。

小蓝觉得这个问题很无聊, 于是他想重新排列一下数组, 使得最终每个查询结果的和尽可能地大。小蓝想知道相比原数组, 所有查询结果的总和最多可以增加多少?

【输入格式】

输入第一行包含一个整数 $n$ 。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ , 相邻两个整数之间用一个空格分隔。

第三行包含一个整数 $m$ 表示查论的数目。

接下来 $m$ 行, 每行包含两个整数 $L_{i} 、 R_{i}$ , 相邻两个整数之间用一个空格分谝。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{lllll}5\end{array}$

$\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{array}$

$\begin{array}{lllll}2\end{array}$

$\begin{array}{lllll}1&3\end{array}$

$\begin{array}{lllll}2&5\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{lllll}4\end{array}$

【样例说明】

原来的和为 $6 + 14 = 20$ , 重新排列为 $(1, 4, 5, 2, 3)$ 后和为 $10 + 14 = 24$ , 增加了 4 。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 50$ ；

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 500$ ；

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 5000$ ，

对于所有评测用例, $\leq n, m \leq 10^{5}, 1 \leq A_{i} \leq 10^{6}, 1 \leq L_{i} \leq R_{i} \leq 10^{6}$ 。

试题 $\mathrm{H}$ : 技能升级

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 20 分

【问题描述】

小蓝最近正在玩一款 RPG 游戏。他的角色一共有 $N$ 个可以加攻击力的技能。其中第 $i$ 个技能首次升级可以提升 $A_{i}$ 点攻击力, 以后每次升级增加的点数都会减少 $B_{i}$ 。 $\left\lceil\frac{A_i}{B_i}\right\rceil$ (上取整) 次之后, 再升级该技能将不会改变攻击力。

现在小蓝可以总计升级 $M$ 次技能, 他可以任意选择升级的技能和次数。请你计算小蓝最多可以提高多少点攻击力?

【输入格式】

输入第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ 。

以下 $N$ 行每行包含两个整数 $A_{i}$ 和 $B_{i}$ 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{lllll}3&6\end{array}$

$\begin{array}{lllll}10&5\end{array}$

$\begin{array}{lllll}9&2\end{array}$

$\begin{array}{lllll}8&1\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{lllll}4&7\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq N, M \leq 1000$ ，

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq N \leq 10^{4}, 1 \leq M \leq 10^{7}$ ；

对于所有评测用例, $\leq N \leq 10^{5}, 1 \leq M \leq 2 \times 10^{9}, 1 \leq A_{i}, B_{i} \leq 10^{6}$ 。

试题 I: 最优清零方案

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ 。现在小蓝想通过若干次操作将这个数列中每个数字清零。

每次操作小蓝可以选择以下两种之一:

选择一个大于 0 的整数, 将它减去 1 :
选择连续 $K$ 个大于 0 的整数, 将它们各减去 1 。

小蓝最少经过几次操作可以将整个数列清零?

【输入格式】

输入第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ 。

【输出格式】

输出一个整数表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{lllll}4&2\end{array}$

$\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{lllll}6\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例， $\leq K \leq N \leq 10$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq K \leq N \leq 100$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq K \leq N \leq 1000$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq K \leq N \leq 10000$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq K \leq N \leq 100000$ 。

对于所有评测用例, $\leq K \leq N \leq 1000000,0 \leq A_{i} \leq 1000000$ 。

试题 $\mathrm{J}:$ 推导部分和

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

对于一个长度为 $N$ 的整数数列 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{N}$ , 小蓝想知道下标 $l$ 到 $r$ 的部分和 $\sum_{i=l}^{r}=A_{l}+A_{l+1}+\cdots+A_{r}$ 是多少?

然而, 小蓝并不知道数列中每个数的值是多少, 他只知道它的 $M$ 个部分和的值。其中第 $i$ 个部分和是下标 $l_{i}$ 到 $r_{i}$ 的部分和 $\sum_{j=l_{i}}^{r_{i}}=A_{l_{i}}+A_{l_{i}+1}+\cdots+A_{r_{i}}$ ,值是 $S_{i}$ 。