组合数学

数位排序

【问题描述】
小蓝对一个数的数位之和很感兴趣,今天他要按照数位之和给数排序。当两个数各个数位之和不同时,将数位和较小的排在前面,当数位之和相等时,将数值小的排在前面。
例如,2022 排在 409 前面, 因为 2022 的数位之和是 6,小于 409 的数位 之和 13。又如,6 排在 2022 前面,因为它们的数位之和相同,而6小于 2022
给定正整数 n,m,请问对1到n 采用这种方法排序时,排在第 m 个的元 素是多少?
【输入格式】
输入第一行包含一个正整数 n。
第二行包含一个正整数 m 。
【输出格式】
输出一行包含一个整数,表示答案。

题目详解

对于数字 1-n 而言，可以事先求出每个数字的数位之和。根据每个数字的数位之和自定义排序函数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
int a[maxn], b[maxn];//自定义排序函数
bool cmp(int x, int y)
{return b[x] < b[y] || b[x] == b[y] && x < y;
}int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++){//求i的数位之和int num = i;while (num)b[i] += num % 10;num /= 10;a[i] = i;}sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);cout << a[m] << endl;return 0;
}

计数原理：加法原理

• 加法原理： 集合 S 被分成两两不相交的部分 S1​,S2​,S3​,…,Sm​，那么 S 的对象数目等于：∣S∣=∣S1​∣+∣S2​∣+∣S3​∣+…+∣Sm​∣

• 例： 一个学生想学一门数学课，一门文化课，但不能同时选，现在从 4 门数学课和 4 门文化课中选，一共有 4+4=8 种方法选一门课。

• 加法原理的关键是将计数分解为若干个独立（不相容）的部分，保证既不重复也不遗漏地进行计数。

• 加法原理是利用完备事件组的一个体现，我们可以利用一个集合的补集做题。

例题：分割立方体 lanqiaoOJ 题号 1620

题目描述：
一个立方体，边长为 n，分割成 n×n×n 个单位立方体。任意两个单位立方体，或者有 2 个公共点，或者有 4 个公共点，或者没有公共点。
请问，没有公共点和有 2 个公共点的立方体，共有多少对？
输入描述：
一个整数 n，1≤n≤30
思路：
反过来计算，先算出有 4 个公共点的立方体有多少对，然后用总对数减去。分几种情况讨论：

1. 正方体和周围 3 个正方体相邻，这种情况共有 8 个，就是顶角上的 8 个，总个数 3×8；
2. 正方体和周围 4 个正方体相邻，这种情况共有 (n−2)×12 个 （棱）总个数 4×(n−2)×12；
3. 正方体和周围 5 个正方体相邻，这种情况共有 6×(n×n−4×n+4) 个，总个数 5×6×(n×n−4×n+4)；
4. 正方体和周围 6 个正方体相邻，这种情况共有 (n×n×n−n×n×6+n×12−8) 个，总个数 6×(n×n×n−n×n×6+n×12−8)； 最后把这 44 个情况求和再除以 2。

正方体一共 $n^3$ 个，共有 $\frac{n^3(n^3-1)}{2}$​ 种关系

1. 正方体和周围 3 个正方体相邻，总个数 3×8；
2. 正方体和周围 4 个正方体相邻，总个数 4×(n−2)×12；
3. 正方体和周围 5 个正方体相邻，总个数 5×6×(n×n−4×n+4)；
4. 正方体和周围 66 个正方体相邻，总个数 6×(n×n×n−n×n×6+n×12−8)；
5. 最后把这 4 个情况求和再除以 2。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n; cin >> n;if(n == 1){             // 边长为 1 时特判cout << 0 << endl;return 0;}long long sum = n * n * n * (n * n * n - 1) / 2; //总数int edge3 = 8;int ans3 = 3 * edge3;int edge4 = (n - 2) * 12;int ans4 = 4 * edge4;int edge5 = n * n - 4 * n + 4;int ans5 = 5 * 6 * edge5;int edge6 = n * n * n - n * n * 6 + n * 12 - 8;int ans6 = 6 * edge6;cout << sum - (ans3 + ans4 + ans5 + ans6) / 2 << endl;return 0;
}

计数原理：乘法原理

令 S 是对象的有序对 (a,b) 的集合，其中第一个对象 a 来自大小为 p 的一个集合，对于对象 a 的每个选择，对象 b 有 q 个选择，那么 S 的大小：∣S∣=p×q
例：中性笔的长度有 3 种，颜色有 4 种，直径有 5 种。不同种类的中性笔有：3×4×5=60 种。
例：$3^4\ast 5^5\ast 7^2\ast 11^3$ 的正整数因子有多少？答：这是算数基本定理的概念。3 有 0 ~ 4 这 5 种选择，5 有 6 个选择，7 有 3 个选择，11 有 4 个选择，因子总数是 5×6×3×4=360 种。

排列数

排列是有序的。
不可重复排列数：从 n 个不同的物品中取出 r 个，排列数为：
$$A_n^r=n(n-1)(n-2)\dots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
可重复排列数，从 n 个不同的物品中可重复地取出 r 个的排列数为：$n^r$。

组合数

排列是有序的，组合是无序的。
如果 S 中的元素都不相同，组合数：
$$C_n^r=\frac{A_n^r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$​

糊涂人寄信 lanqiaoOJ 题号 1622

题目描述：
有一个糊涂人，写了 n 封信和 n 个信封，到了邮寄的时候，把所有的信都装错了信封。求装错信封可能的种类数。
输入描述：
每行输入一个正整数 n，表示一种情况。(n≤20)
输出描述：
输出相应的答案。

解题思路：

题目建模为：有 1∼n 个数字，分别放在 n 个位置，问都放错的情况有多少种。
用 DP 来做。定义 dp[]，dp[i] 表示数字 1∼i 都放错的种类数。dp[n] 是答案。
下面考虑状态转移方程，从 1∼i 递推到 i。
数字 i 如果放错，有 i−1 个位置可以放，(不能放在自己的位置上)假设其放在第 k 个位置。对于数字 k，可以放在 i 位置也可以不放在 i 位置。

1. 如果 k 放在 i 位置，那么对于剩下 i−2 个数字放的次数，就是 i−2 个数字都放错的方法数 dp[i−2]。
2. 如果 k 不放在 i 位置，和 i−1 个数字放错的情况相同，为 dp[i−1]。
   状态转移方程：dp[i] = (i − 1)*(dp[i−1] + dp[i−2])

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[30];int main()
{dp[1] = dp[0]=0;dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= 22; i ++) dp[i] = (i - 1) * (dp[i - 1] + dp[i - 2]);int n;while(cin >> n) cout << dp[n] << endl;return 0;
}

鸽巢原理

鸽巢原理，又称抽屉原理。
鸽巢原理： 把 n+1 个物体放进 n 个盒子，至少有一个盒子包含 2 个或更多的物体。

• 例：在 370 人中，至少有 2 人生日相同；
• 例：n 个人互相握手，一定有 2 个人握手次数相同。
  n 个人互相握手，一定有 2 个人握手次数相同。 每人跟其他人握手，最少可以是 0 次，最多可以是n−1次。不存在重复握手

1. 如果握手最少的是 0 次，那么剩下的n−1人中，握手最多的人不会超过n−2次。0∼n−2 共n−1种情况。
2. 如果握手最少的张三是 1 次，那么剩下的n−1人中，握手最多的李四除了跟张三握手一次，跟其他n−2人最多握手n−2次，李四最多握手n−1次。1∼n−1 共n−1种情况。
3. 如果握手最少的张三是 2 次，那么剩下的n−1人中，握手最多的李四除了跟张三握手一次，跟其他n−2人最多握手n−2次，李四最多握手n−1次。2∼n−1 共n−2种情况。
   …… 所以握手次数最多有n−1种情况，最少只有 1 种情况。 把最多的n−1种情况看成n−1个抽屉，n个人放进这n−1个抽屉，至少有一个抽屉里面有 2 人。

例题：小蓝吃糖果 lanqiaoOJ 题号 1624

题目描述： Gardon 有 n 种糖果，每种数量已知。Gardon 不喜欢连续 2 次吃同样的糖果。问有没有可行的吃糖方案。
输入：
第一行是整数 N，0<n<1000000，
第二行是 n 个数，表示 n 种糖果的数量 $m_i$​，0<$m_i$​<1000000
输出：
输出一行，包含一个 “Yes” 或 “no”。

解题思路

继续处理格式，鸽巢原理，用“隔板法”求解。
找出最多的一种糖果，把它的数量 K 看成 K 个隔板，隔成 K 个空间（把每个隔板的右边看成一个空间）；其它所有糖果的数量为 S。

1. 如果 S<K−1，把 S 个糖果放到隔板之间，这 K 个隔板不够放，必然至少有 2 个隔板之间没有糖果，由于这 2 个隔板是同一种糖果，所以无解。
2. S≥K−1 时，肯定有解。
   其中一个解是：把 S 个糖果排成一个长队，其中同种类的糖果是挨在一起的，然后每次取 K 个糖果，按顺序一个一个地放进 K 个空间。由于隔板数量比每一种糖果的数量都多，所以不可能有 2 个同样的糖果被放进一个空间里。把 S 个糖果放完，就是一个解，一些隔板里面可能放好几种糖果。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005000];int main()
{long long sum = 0;int Max = 0;int n; scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i ++){scanf("%d", &a[i]);sum += a[i];              //所有糖果数量if(a[i] > Max)  Max=a[i];   //最多的一种糖果}if(sum - Max + 1 >= Max) printf("Yes\n");else               printf("No\n");return 0;
}

二项式定理和杨辉三角

杨辉三角：排列成如下三角形的数字

					 11   11  2  11   3  3  11  4   6  4  1

每个数是它上面 2 个数的和。
求杨辉三角第 n 行的数字，可以模拟这个推导过程，逐级递推，复杂度 O(n2)。
用数学公式计算，可以直接得到结果，这个公式是(1+x)n。

二项式系数就是$(1+x{)}^n$ 展开后第 r 项的系数。
$$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
对应杨辉三角的第 n 行第 r 个数是$C_{n-1}^{r-1}$
例：杨辉三角的第 4 行是“1331”，
$$C_{n-1}^{r-1}=C_{4-1}^{1-1}=C_3^0=1,C_3^1=3,C_3^2=3,C_3^3=4$$
理解：$(1+x{)}^n$的第 r 项，就是从 n 个 x 中选出 r 个，这就是组合数的定义
当 n 较大，且需要取模时，二项式系数有两种计算方法：
（1）递推公式：
$$C_n^r=C_{n-1}^{r-}+C_{n-1}^{r-1}$$
公式是杨辉三角的定义，即“每个数是它上面 2 个数的和”。计算复杂度是 $O(n^2)$。
（2）用逆直接计算
因为输出取模，那么不用递推公式，直接用公式计算更快。不过，由于除法不能直接取模，需要用到逆。用逆计算二项式系数，有：
$$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
$C_n^r$ mod m = $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ mod m = ($n!$ mod m)($(r!{)}^{-1}$ mod m)($((n-r)!{)}^{-1}$mod m)mod m
用逆计算二项式系数，复杂度是 O(n) 的。

杨辉三角形

【题目描述】
如果我们按从上到下、从左到右的顺序把杨辉三角形的所有数排成一列，可以得到如下数列:1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1…给定一个正整数N，请你输出数列中第一次出现N是在第几个数?
【输入描述】
输入一个整数N。$N\le 1000000000$
【输出描述】
输出一个整数表示答案

题目解析

直接计算杨辉三角的每个数，然后推导出N的位置
下一行的2个数相加得下一行得一个数。例如上一行是b[0]~b[k]，下一行是a[0]~a[k+1]，那么a[i] = b[i-1] + b[i]
推算过程只用一个数组完成，和DP的自我滚动数组的原理一样，即a[i] = a[i-1] + a[i]

include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[100050];
long long n, sum, line;//sum等于1~line行的数字个数
int main()
{cin >> n;sum = a[0] = 1;if(n == 1){ cout << l;return 0;}for (line = l; line < 50000; line ++)//line:杨辉三角的第1ine行{for (int i = line; i >= 1; i --)//倒过来循环，和DP的自我滚动数组的原理一样{a[i]= a[i-1] + a[i]; //上一行的2个数相加得下一行的一个数if(a[i] == n){cout << sum + line - i + 1;return 0;}}sum += (line+1);//1~line行的数字个数。每行比上一行多一个，累加}return 0;
}

代码只能通过40%的测试:

1. 搜索范围小，只搜了前50000行;
2. 运行时间是$O(n^2)$，即使只搜50000行，也超时了
3. 如果是C++编码，会溢出。杨辉三角的有些数字可能很大，导致溢出。
   本题的正解是用二分法加速

杨辉三角是左右对称的。所以若n在右边出现了，那也必然在左边出现过。而数列的构造顺序是从左往右，所以我们只需看左半部分即可。
上图并不是我们喜欢的杨辉三角形式，让我们再进行一步转换:

	第0列	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第0行	1
第1行	1	1
第2行	1	2	1
第3行	1	3	3	1
第4行	1	4	6	4	1
第5行	1	5	10	10	5	1

	第0列	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第0行	1
第1行	1
第2行	1	2
第3行	1	3
第4行	1	4	6
第5行	1	5	10

我们知道杨辉三角的第i行第 j列的值为 $C_i^j$
用黄色印记标记的数字为我们需要考虑的部分(图一的左侧部分)，我们称其为有效部分。
那么不难发现，对于每一列比如第i列)，它们的有效部分都是从 $C_{2i}^i$开始的。即第i列的有效部分为$C_{2i}^i,C_{2i+1}^i,C_{2i+2}^i\dots$
显然，对于同一行，列数越大则对应的数值也越大；对于同一列来说行数越大则数值也越大。也就是说如果某一行的某一列的值为 X，那么在列数不变的情况下，无论行数怎么变大都不会再出现比 X小的数了；同理在行数不变的情况下列数怎么变大也不会再出现比小的数了。
于是我们可得，当n≤$10^9$时，有效列数为第0~16列(因为第 17列的有效部分是从 $C^{17}$_34($C^{17}$_34>$10^9$)开始的，所以该列无论如何都不可能出现n了，其它的列就就更不可能了)。
我们考虑一列一列处理。那么对于某一列来说，我们怎么确定该列中是否存在n，若存在n这个n又会在该列的第几行呢?
由于随着行号的变大，数值是单调递增的，且知道了行号列号对应的数值也就知道了，于是就很显然可以二分行号。
设当前列数为i，那么二分的左边界l就为 2i，右边界r为 R(满足 $C_R^i\ge n$的任意 R都可)。然后不断搜索直到n出现后返回行号(或者直到搜索结束还是没找到n，返回 false)，再计算出该行号、列号在数列中对应的位置即可
由于数列的构造顺序是从上到下、从左到右，所以我们需要从第16 列开始找，找到了即是答案直接退出程序，找不到再找第 15 列。。
复杂度为 O(16Clog)(C 为计算排列组合的复杂度)。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int C(int a, int b)
{int res = 1;for (int i = a, j = 1; j <= b; i ++){res = res * i / j;if (res > n)return res;}return res;
}
signed main()
{cin >> n;for (int k = 16; ~k; k --){int l = 2 * k;int r = max(n, l);int res = -1;while (l <= r){int mid = l + r >> 1;if (C(mid, k) >= n){res = mid;r = mid - 1;}elsel = mid + 1;}if (C(res, k) == n)cout << (res + 1) * res / 2 + k + 1 << '\n';}return 0;
}

2*N 名编号为1~ 2N 的选手共进行 见 轮比赛。每轮比赛开始前，以及所有比赛结束后，都会按照总分从高到低对选手进行一次排名。选手的总分为第一轮开始前的初始分数加上已参加过的所有比赛的得分和。总分相同的，约定编号较小的选手排名靠前。
每轮比赛的对阵安排与该轮比赛开始前的排名有关:第1名和第2名、第3名和第4名、…第2K -1名和第 2K 名、…、第 2N -1名和策 2N 名，各进行一场比赛，每场比赛胜者得1分，负者得0分。也就是说除了首轮以外，其它轮比赛的安排均不能事先确定，而是要取决于选手在之前比赛中的表现。
现给定每个选手的初始分数及其实力值，试计算在R轮比赛过后，排名第Q的选手编号是多少。我们假设选手的实力值两两不同，且每场比赛中实力值较高的总能获胜。

暴力法：每轮做一次排序，R轮后输出
计算量:排序nlogn、共R轮=Rnlogn，超时
归并排序的思路:
每组比赛的胜者:赛前，总分按降序排;获胜后都得1分，仍是降序;
每组比赛的负者:赛前，总分按降序排的;不得分，仍是降序。
先按初始分数排序，然后按分数高低两人一组比赛
胜者入队A，负者入队B。这样A、B自身仍是有序的
那么：每次对于每轮比赛结束，只需进行合并操作即可，O(n)的时间就能让序列变成有序的了。

归并排序

归并排序的主要操作

1. 分解。把初始序列分成长度相同的左右两个子序列，然后把每个子序列再分成更小的两个子序列…，直到子序列只包含1个数。用递归实现。
2. 求解子问题，对子序列排序。最底层的子序列只包含1个数，其实不用排序。
3. 合并。归并2个有序的子序列，这是归并排序的主要操作

对n个数进行归并排序:

1. 需要logn趟归并;
2. 在每一趟归并中，有很多次合并操作，一共需要O(n)次比较。
   所以计算复杂度是O(nlogn)。
   空间复杂度:需要一个临时的b[]存储结果，所以空间复杂度是O(n).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int n, q, m，wn，ls;
struct Player 
{int s, w, id;bool operator < (const player  & x) const {if(x.sl = s)return s > x.s;return id < x.id;}
}P[N]，winner[N], loser[N];
signed main()
{cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n * 2; ++ i)P[i].id = i;for (int i = 1; i <= n * 2; ++ i)cin >> P[i].s;for (int i = 1; i <= n * 2; ++ i)cin >> P[i].w;sort(p+1, P + 1 + n * 2);while(m --){wn = ls = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i){if(P[i * 2].w > P[i * 2 - 1].w){P[i * 2].s ++;winner[++ wn] = P[i * 2];loser[++ ls] = P[i*2-1];}else {P[i * 2 - 1].s++;winner[++ wn] = p[i * 2 - 1];loser[++ ls] = P[i * 2];}}merge (loser + 1, loser + 1 + n, winner + 1, winner + 1 + n, P + 1);}cout << P[q].id << '\n';return 0;
}