一.范数（Norms）
1.什么是范数？
范数是一个向量空间V的函数，每一个属于向量空间V的向量x都匹配了一个实数（它的长度）：
2.范数的性质？
齐次性：
正定性：
三角不等式：
3.什么是曼哈顿范数？
对于（n维向量），
称为曼哈顿范数，也称作
范数
4.什么是欧几里得距离？
对于（n维向量），
称为欧几里得距离，也称作
范数。
5.向量的p范数？
，当p越大，图像越方,二维情况如下：
二.向量的内积
1.什么是双线性映射（bilinear mapping）？
对于，存在：
2.什么是内积（Inner product）？
如果V是一个向量空间，并且存在双线性映射，那么
称这个映射是对称的：
称这个映射是正定的：对于任何
一个正定，对称的双线性映射称为向量空间V上的内积（Inner Product），一般写作。
3.什么是内积空间？什么是欧几里得向量空间？
称为内积空间，如果内积操作变为点积，那么称作欧几里得向量空间，这里强调：内积不等于点积，举例：
4.什么是正定（positive definite）矩阵？什么是半正定矩阵？
存在矩阵A：，那么说明矩阵A是正定的，
如果，那么说明矩阵A是半正定的。
5.正定矩阵有什么性质？
- 正定矩阵A的行列式值
恒为正
- 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同
- 若A是正定矩阵，那么A的逆矩阵也是正定矩阵
- 两个正定矩阵的和仍是正定矩阵
- 正实数与正定矩阵的积仍是正定矩阵
三.长度和距离（Length and Distance）
1.什么是柯西不等式？
对于内积空间，存在运算
，使得不等式
成立
2.什么是两个向量之间的距离？什么是两个向量之间的欧几里得距离？
首先介绍距离映射：，对于单个元素：
Distance：对于内积空间来说：
欧几里得距离：当内积变换为点积的时候，称作欧几里得距离。
其中映射d满足：对称，正定，三角不等式。
四.正交投影（Orthogonal Projection）
1.如何求得二维平面的坐标？投影？投影矩阵？
考虑情况：R2向量空间的向量x向子空间投影到直线b上，投影结果为。
- 求坐标λ，有
，
- 求投影
，求投影长度
- 求投影矩阵
，所以
2.如何求得多维空间的坐标？投影？投影矩阵？
考虑情况：，
x向更低维度的子空间U投影，
。
是U的有序基，投影可以被这些有序基线性表示：
- 求投影的坐标λi，最终得到齐次线性方程组：
所以有，
- 求投影：
- 求投影矩阵：
，如果基底是正定的，那么
，上面计算可以省略。
3.格拉姆施密特法是什么？
格拉姆施密特就是在相同向量空间V中，给定一组基底，求正交基底。
假定有不平行向量a，b，c，我们需要（1）正交化（如下）（2）单位化（自行考虑）
五.旋转（Rotation）
1.R2空间中矩阵的旋转
2.R3空间中矩阵的旋转
分别关于e1，e2，e3的旋转矩阵：
3.吉文斯旋转
六.矩阵的等价、相似、合同
1.什么是矩阵的等价？
矩阵A和B等价的充要条件是对于同型矩阵A和B的秩相等。定义是存在可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ。
2.什么是矩阵的合同？
矩阵的合同是指对于同型方阵A和B，存在可逆矩阵P使得。
3.什么是矩阵的相似？
矩阵的相似是指对于同型方阵A和B，存在可逆矩阵P使得。
4.三者关系？
- 等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
- 相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵
- PQ=E的等价矩阵是相似矩阵
- 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵
- 正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵
- 合同矩阵未必是相似矩阵
- 相似矩阵未必合同
- 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵
- 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同
