本篇为西安交通大学本科课程《电气材料基础》的笔记。

本篇为这一单元的第二篇笔记，上一篇传送门。

半导体导电特性

载流子的迁移

外电场下电子和空穴定向位移产生电流。电流密度可写作：
$$J=e({\mu }_{n}n+{\mu }_{p}p)E=\sigma E$$
其中，$\sigma$是电导率（S/m），它是载流子浓度和迁移率的函数。n与p分别为电子和空穴的浓度。$\mu$是迁移率，定义为$\mu =\frac{v}{E}$，是单位电场强度作用下的迁移速率，其影响因素在微观上主要是晶格散射和电离杂质散射。

晶体的理想周期性势场可允许电子在其中自由运动而不受到散射。在绝对零度之上时，原子在其晶格位置上做无规则的热运动，破坏了理想的势函数，使得载流子和振动的晶格原子发生相互作用，这种晶格散射也叫做声子散射。

定义${\mu }_L$是只有晶格散射时候的迁移率，为温度的函数，有近似关系：
$${\mu }_L\propto T^{-\frac{3}{2}}$$

当温度降低时，晶格振动下降，迁移率将上升。

室温下，电子或空穴和电离杂质之间存在库仑力，会引起碰撞或散射，也会改变载流子的速度特性，叫做电离杂质散射。定义${\mu }_I$是只有电离杂质散射时候的迁移率，有近似关系：

$${\mu }_I\propto \frac{T^{\frac{3}{2}}}{N_I}$$

其中，$N_I=N_d^{+}+N_a^{-}$表示电离杂质的总浓度。温度上升时，载流子的热运动加强，迁移速率上升。另外，电离杂质总浓度越大，散射概率越大，迁移率下降。

可以画出载流子浓度和电导率随着温度变化的曲线。

• 在低温区，电子浓度和电导率随着温度的下降而降低，这是因为温度低电离出来的少。
• 在中温区，杂质全部电离，电子浓度为一个恒定值，但是因为迁移率在不同温度下分别受影响于晶格散射和电离杂质散射，所以中温区的电导率随着温度会发生变化。
• 在高温区，本征载流子浓度随着温度的上升而迅速加大，并且主导了电子浓度和电导率。

除了电场作用下的迁移作用，会产生迁移电流；还有因为浓度差而产生的扩散作用，会产生扩散电流。总电流密度可表示为电子迁移、扩散电流密度与空穴迁移、扩散电流密度之和：
$$J=en{\mu }_n{E}_x+ep{\mu }_p{E}_x+e{D}_n\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}-e{D}_p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$$
其中，$D_n$是电子扩散系数，$D_p$是空穴扩散系数，单位是$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$。

电子迁移率和扩散系数可以使用爱因斯坦关系相连接：
$$\frac{D_n}{{\mu }_n}=\frac{D_p}{{\mu }_p}=\frac{kT}{e}$$

霍尔效应

指的是电场和磁场对半导体中运动电荷施加力的作用而产生的效应，可以用于判断半导体的类型，计算载流子的浓度和迁移率。

如上图所示为霍尔效应的测量原理图。半导体中电流为$I_x$，磁场的方向和电流的方向相垂直，为z轴正方向。半导体中电子和空穴受到磁场力的作用，均为y轴负方向。如果是n型半导体，载流子是电子即负电荷，负电荷会累计在y=0的平面上，并且在y轴方向产生感应电场。

无论是哪种半导体，当磁场力和电场力相等的时候，就达到了平衡状态，此时有：
$$q{E}_y=q{v}_x{B}_z$$

y轴方向感生电场就是霍尔电场，其在半导体内产生的电压就是霍尔电压$V_H=+E_{H}W$。n型半导体的霍尔电压为负，p型半导体的霍尔电压为正。可以通过霍尔电压的正负来检验是p或n型半导体。

p型半导体的空穴迁移速度为：
$$v_{d}x=\frac{J_x}{ep}=\frac{-I_x}{(ep)(Wd)}$$

再结合上述三式，就可以求得空穴的浓度：
$$p=\frac{I_x{B}_z}{ed{V}_H}$$

由于p型半导体中，$J_x=ep{\mu }_p{E}_x$，所以：
$$\frac{I_x}{Wd}=J_x=\frac{ep{\mu }_p{V}_x}{L}$$

可以得到空穴的迁移率为：
$${\mu }_p=\frac{I_{x}L}{ep{V}_{x}Wd}$$

同理可得，n型半导体的电子浓度为：
$$n=-\frac{I_x{B}_z}{ed{V}_H}$$

迁移率可得：
$${\mu }_n=\frac{I_{x}L}{en{V}_{x}Wd}$$

非平衡过剩载流子运动

半导体受到外部激励，进入不平衡态，会产生过剩的电子和空穴，这叫做非平衡过剩载流子。

过剩载流子的产生和复合

热平衡态的净载流子浓度和时间无关，说明电子和空穴的产生率和复合率正好抵消，即产生率等于复合率。

非平衡态的电子浓度和空穴浓度大于热平衡时的值。可以写作：
$$\begin{gathered} n=n_0+\delta n \\ p=p_0+\delta p \end{gathered}$$

其中，$n_0,p_0$分别是热平衡下的电子和空穴浓度，$\delta n,\delta p$分别是过剩电子和空穴浓度。显然有：$np\ne n_0{p}_0=n_i^2$。

因为过剩电子和空穴也是成对产生和复合的，所以存在关系$\delta n(t)=\delta p(t)$。当过剩载流子浓度远小于热平衡多数载流子的浓度，过剩少数载流子将随时间而衰减，有：
$$\delta n(t)=\delta n(0)e^{-\frac{t}{{\tau }_{n0}}}$$
其中，${\tau }_{n0}$是复合发生前的平均时间，称之为过剩少数载流子的寿命。

过剩载流子的寿命

理想半导体的禁带中不存在电子能态。但实际半导体，晶体存在缺陷而破坏完整的周期性势函数。缺陷密度不大的条件，就会在禁带中产生分立的电子能态。

假设在禁带中存在一个独立的复合中心（陷阱），它俘获电子和空穴的概率是相等的，这个陷阱有可能发生四个基本过程：

1. 电子的俘获：导带中电子被一个陷阱捕获。
2. 电子的发射：陷阱中电子被重新发回导带。
3. 空穴的俘获：价带中空穴被包含电子的陷阱捕获，或陷阱从价带中俘获电子。
4. 空穴的发射：中性陷阱将空穴发射到价带中，或陷阱从价带中俘获电子。

热平衡态下，导带中的电子被陷阱捕获的概率和导带中的电子密度和空陷阱的密度分别成比例，且和电子被发射回导带的概率相等。

过剩载流子的运输

过剩载流子的运输包括在在电场作用下的漂移移动和热和浓度差导致的扩散运动，同时因为材料表面或内部存在杂质、陷阱等原因会造成过剩载流子的复合。热平衡态下，半导体的电中性条件是过剩少子浓度等于过剩多子浓度。半导体中，过剩电子和空穴并不是相互独立运动的，他们都是有同样的迁移率、扩散系数与寿命，这种现象叫做双极运输。

过剩载流子浓度的运动规律可以使用电流连续性方程来描述。漂移扩散同时存在，则在一维情况下过剩电子空穴的连续性方程可以写作：
$$\begin{gathered} \frac{\partial n}{\partial t}={\mu }_{e}E\frac{\partial n}{\partial x}+{\mu }_{e}n\frac{\partial E}{\partial x}+D_e\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}+g_e-\frac{n-n_0}{{\tau }_e} \\ \frac{\partial p}{\partial t}=-{\mu }_{h}E\frac{\partial p}{\partial x}-{\mu }_{h}p\frac{\partial E}{\partial x}+D_h\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}+g_p-\frac{p-p_0}{{\tau }_h} \end{gathered}$$

其中$E$是电场强度，${\tau }_e,{\tau }_h$是过剩电子空穴的寿命，$g_e,g_h$是单位时间单位体积内产生的电子和空穴。等式的右边，前两项是由漂移产生的单位时间单位体积的电子或空穴的累积，第三项是因为扩散运动产生的单位时间、体积电子或空穴的累积，第五项是小注入时单位时间、体积中复合小时的电子或空穴。

求解上面的连续性方程，可以得到过剩电子和空穴浓度。对一块均匀的p型半导体，其在x=0处给一个脉冲激励，产生过剩电子和空穴。激励撤去后，无电场情况下，可以求解连续性方程得到稳定状态过剩电子和空穴随时间变化的分布。一般情况下非平衡载流子的浓度都成指指数衰减，且具有相同的扩散长度。

小注入情况下，撤去激励之后的过剩多子和少子以及电子和空穴的稳态浓度分布如下图所示。可见，其中多子空穴的浓度几乎没有变化，但少子浓度将有几个数量级的变化。在过剩载流子浓度很小和非本征掺杂条件下，过剩电子和空穴的共同迁移与扩散运动主要取决于少子的特性。

下图是x=0处产生过剩电子和空穴情况下，电子和空穴的稳态分布浓度：