【数据结构（七）】二叉树

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1.前言

在日常生活中，大树随处可见。在Java中，树也是一种常见的非线性数据结构，它是由n个有限结点组成的，具有层次关系，接下来我们就对二叉树进行学习！

本章重点

掌握树的基本概念、二叉树概念及特性、自己实现一棵二叉树，掌握二叉树的基本操作。

2.树形结构

2.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

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树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.2常见概念

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结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为3
树的度:一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点；如上图：J、F、K、L、H、I
双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点:一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次:从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度:树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点:度不为0的结点；如上图：A、B、从、C…等节点为分支结点
兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：E、F互为兄弟结点
结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林:由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.3树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value;       // 树中存储的数据        
Node firstChild;  // 第一个孩子引用     
Node nextBrother; //下一个兄弟     
}

3.二叉树

3.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

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3.2满二叉树与完全二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树.也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^{k-1}$ (i>0)，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
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3.3二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^k-1$ (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶子结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $log_2^{n+1}$ 向上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
练习：
(1) 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ 200）
(2)一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（384）

3.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

 // 孩子表示法
class Node {int val;        // 数据域Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {int val;        // 数据域Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent;    // 当前节点的根节点
}

3.5二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：二叉树的遍历分为：前序遍历、中序遍历、后序遍历。

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
例1：写出下图二叉树的三种遍历顺序：

前：ABDEHCFG
中：DBEHAFCG
后：DHEBFGCA
.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为:abcde
注意！只有前序遍历和后序遍历，不能得到一棵二叉树

4.实现二叉树

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public class BinaryTree {//定义节点类class TreeNode{public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val){this.val=val;}}//创造一个二叉树public TreeNode createTree(){TreeNode A=new TreeNode('A');TreeNode B=new TreeNode('B');TreeNode C=new TreeNode('C');TreeNode D=new TreeNode('D');TreeNode E=new TreeNode('E');TreeNode F=new TreeNode('F');TreeNode G=new TreeNode('G');TreeNode H=new TreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;E.right=H;C.left=F;C.right=G;return A;}//前序遍历public void preOder(TreeNode T){if(T==null){return ;}System.out.print(T.val+" ");preOder(T.left);preOder(T.right);}//中序遍历public void Oder(TreeNode T){if(T==null){return ;}Oder(T.left);System.out.print(T.val+" ");Oder(T.right);}//后序遍历public void postOder(TreeNode T){if(T==null){return ;}postOder(T.left);postOder(T.right);System.out.print(T.val+" ");}//获取树中结点的个数public int size(TreeNode T){if(T==null){return 0;}return size(T.left)+size(T.right)+1;//递归：左子树+右子树+根结点}//获取叶子结点个数public int getLeafNodeCount(TreeNode T){if(T==null){return 0;}if (T.left==null&&T.right==null){return 1;}int Left=getLeafNodeCount(T.left);//左边叶子节点数int Rigeht=getLeafNodeCount(T.right);//右边叶子节点数return Left+Rigeht;}//获取第K层结点的个数public int getKNodeCount(TreeNode T,int K){if (T==null){return 0;}if (K==1){return 1;}int Left=getKNodeCount(T.left,K-1);int Right=getKNodeCount(T.right,K-1);return Left+Right;}//获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode T){if(T==null){return 0;}int Left=getHeight(T.left);int Right=getHeight(T.right);if(Left>Right){return Left+1;}else {return Right+1;}}//检测值为value的值是否存在public TreeNode find(TreeNode T,char val){//判断是否为空if (T==null){return null;}//判断根结点是否为要找的值if (T.val==val){return T;}//判断左子树是否能找到TreeNode Left=find(T.left,val);if (Left!=null){return Left;}//判断右子树是否能找到TreeNode Right=find(T.left,val);if (Right!=null){return Right;}return null;}
}

测试

public class Test {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree=new BinaryTree();BinaryTree.TreeNode tree =binaryTree.createTree();binaryTree.preOder(tree);System.out.println("");binaryTree.Oder(tree);System.out.println("");binaryTree.postOder(tree);int size=binaryTree.size(tree);System.out.println("");System.out.println("结点个数为: "+size);int LeafNode=binaryTree.getLeafNodeCount(tree);System.out.println("叶子结点个数为: "+LeafNode);int KNodeCount=binaryTree.getKNodeCount(tree,4);System.out.println("第4层结点的个数为："+KNodeCount);int Height=binaryTree.getHeight(tree);System.out.println("深度为： "+Height);BinaryTree.TreeNode f =binaryTree.find(tree,'A');System.out.println(f.val);}
}