平面机械臂运动学分析

平面机械臂运动学分析

  • 一 整体概述
    • 1 研究步骤：
  • 二 正向
    • 1 几何分析
    • 2 matlab 仿真模拟
      • （1）实现效果
      • （2）matlab代码：
    • 3 DH矩阵计算法
      • （1）计算公式
      • （2）计算结果验证
      • （3）Tend矩阵末端位姿数据提取
      • （4）matlab计算代码
  • 三 逆向

一 整体概述

1 研究步骤：

1 正向：根据所读取的关节处角度，立刻计算出末端坐标，可随时计算得出当前末端坐标值，方便用于计算。

2 逆向：根据末端坐标，计算出各关节角度的值，已知终点坐标，计算出各关节角度写入，以到达指定位置。

3 规划路径曲线点，设置曲线路径，使各关节移动丝滑，稳定、快速的到达指定位置。

4 误差补偿，通过PID等算法，补偿摩擦力重力等环境因素带来的影响，优化精度。

二 正向

1 简介：根据已知角度与杆长，计算得出机械臂末端位置的位置变化，角度可由传感器采集。

2 效果：输入各个关节的角度值，可以计算出机械臂末端执行器的位置和姿态。

1 几何分析

（1）一种简单几何计方法：

在这里插入图片描述

（2） 计算公式

在这里插入图片描述

【X，Y】末端坐标
【l1 l2 l3】 连杆长
【θ1 θ2 θ3 】关节角度

2 matlab 仿真模拟

本节使用matlab制作一个方便查看视觉效果的：简易平面三连杠机械臂模型

（1）实现效果

可修改臂长参数，输入关节角度值，快速查看末端坐标，并支持滑块实时测试效果：

在这里插入图片描述

（2）matlab代码：

function forward_direction
%----------------------1 初始参数设置---------------------------l1=50; l2=50; l3=50; %已知信息：臂长degree1 = deg2rad(0);%各关节角度degree2 = deg2rad(0);degree3 = deg2rad(0);%求出4个点坐标bx = l1*sin(degree1); % B点坐标，A为（0，0）by = l1*cos(degree1);cx = bx+l2*sin(degree1+degree2);% C点坐标cy = by+l2*cos(degree1+degree2);dx = cx+l3*sin(degree1+degree2+degree3);% D点坐标dy = cy+l3*cos(degree1+degree2+degree3);
%-----------------------2初始图像设置---------------------------x = linspace(0, 150, 1500);  % X轴范围包含所有分段y = zeros(size(x));         % 初始化Y数组figure('Position', [0 0 600 600]);axe = axes('Position', [0.1 0.3 0.8 0.6]);sport_plot = plot(x,y,'.', 'LineWidth', 2);update();%计算初始参数点，设置分段函数set(sport_plot, 'YData', y);axis('equal',[0 200 -150 150]); % 设置坐标轴范围 [x1，x2],[y1,y2]title('正向运动学分析'); % 标题xlabel('X坐标'); % x轴标签ylabel('Y坐标'); % y轴标签grid on; % 显示网格
%-------------------------3 更新参数点，设置分段函数----------------function [] =update()bx = l1*sin(degree1); % B点坐标，A为（0，0）by = l1*cos(degree1);cx = bx+l2*sin(degree1+degree2);% C点坐标cy = by+l2*cos(degree1+degree2);dx = cx+l3*sin(degree1+degree2+degree3);% D点坐标dy = cy+l3*cos(degree1+degree2+degree3);y = zeros(size(x));%x = linspace(0, dx, 1500);idx1 = (x >= 0 ) & (x <= bx);idx2 = (x >= bx) & (x <=cx); idx3 = (x >= cx) & (x <=dx);idx4 = x >dx;y(idx1) = tan(pi/2-degree1)*x(idx1);         % 注意使用 .^y(idx2) = tan(pi/2-degree1-degree2)*(x(idx2)-bx)+by;    % 线性计算y(idx3) = tan(pi/2-degree1-degree2-degree3)*(x(idx3)-cx)+cy;y(idx4) = 999;title(axe, ['末端坐标（x,y）=（', num2str(dx), '，', num2str(dy), '）']);end
%--------------------------4 滑块-----------------------------------------% 添加degree1滑块uicontrol('Style', 'slider', ...'Position', [190 110 200 20], ...'Min', 0, 'Max', 180, 'Value', degree1, ...'Callback', @updatedegree1);uicontrol('Style', 'text', ...'Position', [140 110 42 15], ...'String', 'degree1');% 回调函数1function updatedegree1(hObj, ~)tem = hObj.Value; degree1=deg2rad(hObj.Value);%更新角度update();set(sport_plot, 'YData', y);uicontrol('Style','text','String',num2str(tem),'Position',[400 110 40 15]);end% 添加degree2滑块uicontrol('Style', 'slider', ...'Position', [190 60 200 20], ...'Min', 0, 'Max', 180, 'Value', degree2, ...'Callback', @updatedegree2);uicontrol('Style', 'text', ...'Position', [140 60 42 15], ...'String', 'degree2');% 回调函数1function updatedegree2(hObj, ~)tem = hObj.Value; degree2=deg2rad(hObj.Value);%更新角度update();set(sport_plot, 'YData', y);uicontrol('Style','text','String',num2str(tem),'Position',[400 60 40 15]);end% 添加degree3滑块uicontrol('Style', 'slider', ...'Position', [190 13 200 20], ...'Min', 0, 'Max', 180, 'Value', degree3, ...'Callback', @updatedegree3);uicontrol('Style', 'text', ...'Position', [140 13 42 15], ...'String', 'degree3');% 回调函数1function updatedegree3(hObj, ~)tem = hObj.Value; degree3=deg2rad(hObj.Value);%更新角度update();set(sport_plot, 'YData', y);uicontrol('Style','text','String',num2str(tem),'Position',[400 13 40 15]);end
%------------------------------5 文本框输入------------------------------uicontrol('Style', 'text', ...'Position', [450 430 100 20], ...'String', 'set 1:');uicontrol('Style', 'edit', ...'Position', [450 400 100 30], ...'String', '0', ...'Callback', @setdegree1);% 定义回调函数function setdegree1(src, ~)% 获取输入值input_str = get(src, 'String');input_num = str2double(input_str);% 验证输入if isnan(input_num)errordlg('请输入有效数字！', '输入错误');return;end% 更新全局变量degree1 = deg2rad(input_num);update();set(sport_plot, 'YData', y);enduicontrol('Style', 'text', ...'Position', [450 370 100 20], ...'String', 'set 2:');uicontrol('Style', 'edit', ...'Position', [450 340 100 30], ...'String', '0', ...'Callback', @setdegree2);% 定义回调函数function setdegree2(src, ~)% 获取输入值input_str = get(src, 'String');input_num = str2double(input_str);% 验证输入if isnan(input_num)errordlg('请输入有效数字！', '输入错误');return;end% 更新全局变量degree2 = deg2rad(input_num);update();set(sport_plot, 'YData', y);enduicontrol('Style', 'text', ...'Position', [450 310 100 20], ...'String', 'set 3:');uicontrol('Style', 'edit', ...'Position', [450 280 100 30], ...'String', '0', ...'Callback', @setdegree3);% 定义回调函数function setdegree3(src, ~)% 获取输入值input_str = get(src, 'String');input_num = str2double(input_str);% 验证输入if isnan(input_num)errordlg('请输入有效数字！', '输入错误');return;end% 更新全局变量degree3 = deg2rad(input_num);update();set(sport_plot, 'YData', y);endend

几何法正向分析比较简单，且此处仅以二维为例

3 DH矩阵计算法

DH参数：

  • 连杆长度（a）、 【连杆长度】
  • 连杆转角（alpha）【连杆转角】
  • 连杆偏移（d） 【关节偏移】
  • 关节角（theta） 【关节角】

1 对于旋转关节，theta是变量，而d是固定的；
2 对于移动关节，d是变量，theta固定。平面机械臂通常是【旋转关节】，所以theta会是变量。
3 平面二维机械臂只需考虑：连杆长度（a）与 关节角（theta）

（1）计算公式

  • <1> 每个关节的坐标系变换可通过 齐次变换矩阵 表示，通用形式为：
    在这里插入图片描述

  • <2> 正运动学末端执行器的位置姿态计算公式为：
    在这里插入图片描述
    Ti 每一项分别对应关节的变换矩阵，各连杆长度与角度参数带入公式<1>即可，如下图：

在这里插入图片描述

（2）计算结果验证

角度为：30，50，15
臂长：60，50，40

矩阵计算结果：Tend=T1 *T2 *T3:
在这里插入图片描述

几何法对比
在这里插入图片描述

如图可知，结果验证无误
xy坐标颠倒原因是：所用几何法、与齐次矩阵变换中关节角度的选取方式不同，即θ设置不同，但计算数值大小一致。

（3）Tend矩阵末端位姿数据提取

  • 最终的4x4齐次矩阵Tend可分解为：3x3旋转矩阵R和 3x1位置向量P：
    在这里插入图片描述
  • 以上一步计算出的最终其次矩阵Tend为例：
    在这里插入图片描述

从Tend矩阵中可提取对应位置信息，与旋转信息

（4）matlab计算代码

l1=60; l2=50; l3=40;  %已知信息：臂长
degree1 = deg2rad(30);%各关节角度设置
degree2 = deg2rad(50);
degree3 = deg2rad(15);
%DH参数：
%a=L   臂长  
%α=0  连杆转角
%d=0   连杆偏移
%sitar=degree 关节角
T1=[cos(degree1)  -sin(degree1)*cos(0)    sin(degree1)*sin(0)   l1*cos(degree1)sin(degree1)  cos(degree1)*cos(0)     -cos(degree1)*sin(0)  l1*sin(degree1)0     sin(0)            cos(0)       00      0               0            1];
T2=[cos(degree2)  -sin(degree2)*cos(0)    sin(degree2)*sin(0)  l2*cos(degree2)sin(degree2)  cos(degree2)*cos(0)     -cos(degree2)*sin(0) l2*sin(degree2)0     sin(0)            cos(0)       00      0               0            1];
T3=[cos(degree3)  -sin(degree3)*cos(0)    sin(degree3)*sin(0)   l3*cos(degree3)sin(degree3)   cos(degree3)*cos(0)     -cos(degree3)*sin(0)  l3*sin(degree3)0     sin(0)            cos(0)       00      0               0            1];Tend = T1*T2*T3   %齐次变换矩阵计算公式，末位位姿

三 逆向

DH参数模型：
在这里插入图片描述
公式为：
在这里插入图片描述+

（x,y）为已知末端坐标， 求解三个关节角度

（待补充）

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