IIR滤波器的设计与实现（内含设计IIR滤波器的高效方法）

写在前面：初学者学习这部分内容，要直接上手写代码可能会感到比较困难，我这里推荐一种高效快速的设计IIR,FIR滤波器的方法——MATLAB工具箱：filterDesigner。打开的方法很简单，就是在命令行键入：filterDesigner，就可以打开了。打开以后，界面是这样的：

直接输入设计的参数，想要的类型就可以很快的设计出滤波器了。点击“文件”，还可以生成MATLAB代码。

还有一个很值得介绍的是：MATLAB FTVTool（滤波器可视化工具）

示例：（可视化工具会打卡下面这个窗口）

b = firls(80,[0 0.11 0.19 1],[1 1 0 0],[1 100]); % Design an FIR filter
hd = dfilt.dffir(b); % Create the direct-form FIR filter.
set(hd,'Arithmetic','fixed');  % Quantize filter using 16-bit
% fvtool(b,hd);      % Compare the fixed-point filter with reference
h1 = copy(hd);       % Copy hd to h1
set(h1,'CoeffWordLength',12); % Use 12 bits for coefficients
fvtool(hd, h1);      % Compare 12-bit & 16-bit filters

（笔记正文）
背景知识
- 理想滤波器的特性，实际滤波器的妥协
  - 滤波：去除信号中不想要的成分或者增强所需成分
  - 理想与实际的妥协——容许有一定的误差：1.通带可能有波纹；2.阻带可能有非零增益；3.通带和阻带之间可能有过渡带。
- FIR vs IIR
  - FIR：可实现任意幅度和相位响应、可实现线性相位但通常需要较大的阶数𝑀。
  - IIR：基于模拟滤波器设计而转换得到；通常只能实现频率选择性滤波但通常只需较小的阶数M
IIR数字滤波器的设计
- 基于模拟滤波器的设计
  - 模拟滤波器的4种就经典类型：
    - 通带阻带都单调的巴特沃斯
    - 通带等波纹，阻带单调的切比雪夫I型（过渡带比巴特沃斯窄）
    - 阻带等波纹，通带单调的切比雪夫II型（过渡带比巴特沃斯窄）
    - 通带阻带都等波纹的椭圆滤波器（过渡带最窄）
  - IIR数字滤波器设计流程：
    - 预畸变：将关键的频率指标由数字域的𝜔转换为模拟域的Ω
    - 频率转换：若设计高通、带通或带阻，可由原型模拟低通
    - 滤波器𝐻LP(𝑠)通过频率转换得到
    - 低通设计：设计出原型模拟低通滤波器𝐻LP(𝑠)
    - 双线性变换：从模拟𝑠域映射到数字𝑧域
    - 验证：验证所得𝐻(𝑧)的性能
  - 模拟原型低通滤波器：以以巴特沃兹滤波器为例（省略推导过程）
    - 由4个参数作为滤波器指标（或者是通带衰减，阻带衰减rs，rp）
    - 子主题 2
  - 模拟𝑠域的频率变换：从低通到高通、带通、带阻
    - 低通——>高通
    - 低通——>带通
    - 低通——>带阻
  - 双线性变换：从模拟𝑠域到数字𝑧域
    - 目的：从模拟滤波器𝐻(𝑠)映射到数字滤波器𝐻(𝑧)
    - 使用双线性变换前，需对指定频率𝜔 进行预畸变至Ω = 2 tan( 𝜔/2)
- IIR滤波器设计案例