参考文献：

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8. [BGG+18] Boneh D, Gennaro R, Goldfeder S, et al. Threshold cryptosystems from threshold fully homomorphic encryption[C]//Advances in Cryptology–CRYPTO 2018: 38th Annual International Cryptology Conference, Santa Barbara, CA, USA, August 19–23, 2018, Proceedings, Part I 38. Springer International Publishing, 2018: 565-596.
9. PZK via OWF
10. LSSS & MSP
11. Threshold FHE
12. Multi-key FHE

[BGG+18] 基于 门限同态加密，给出了构造 各种门限密码系统的一种通用方法。

Centralized ThFHE

Definition

[BGG+18] 首先给出了 threshold fully homomorphic encryption (ThFHE) for any class of access structures 的接口以及相关属性的定义。这个定义是中心化的，它有一个可信的 Setup 阶段，用于生成公私钥对以及分发私钥。

接口为：

我们要求 ThFHE 具有：紧凑性、计算正确性、语义安全性（IND-CPA）、模拟安全性（更强）

接下来，[BGG+18] 使用了 [AJL+12] 的噪声洪泛策略：为了防止 partial decryption 泄露参与者的 secret share 信息，他们根据 Smudging Lemma，对部分解密的结果（本来噪声的界 $B$）添加上超多项式大小的噪声（污染噪声的界 $B_{sm}$ 满足 $B/B_{sm}=negl(\lambda )$），这使得包含私钥信息与否的两个分布的统计距离是可忽略的，从而证明模拟安全性。

[AJL+12] 使用的是形如 $s={\sum }_{i=1}^N{s}_i$ 的 additive SSS。根据 FHE 的双线性（内积）解密特点，它在重构时的噪声累积是线性的，但是它只能处理 $(N-1)$-out-of-$N$ 访问结构。

[BGG+18] 考虑了任意的门限访问结构（threshold access structures , TAS）

为了构造 ThFHE，首先需要一个底层的 FHE，要求它具有：紧凑性、正确性、安全性。[BGG+18] 特别地要求它的解密函数可以明确地分为线性部分以及非线性部分，

ThFHE from Special LSSS

为了减小 LSSS 重建时的噪声累加，[BGG+18] 提出了一类特殊的访问结构，称之为 {0,1}-LSSS 访问结构族，它可以被一些重构系数要么是零要么是壹的 LSSS 所支持。

这个 {0,1}-LSSS 访问结构族包含了所有可以由 monotone Boolean formulas（MBFs）计算的那些访问结构（只含 AND 以及 OR 的布尔函数，不含 NOT）。特别地，TAS 也包含在内。也就是说 Special LSSS 依旧足够的富有，
TAS ⊆ MBF ⊆ { 0 , 1 } -LSSS \text{TAS} \subseteq \text{MBF} \subseteq \{0,1\}\text{-LSSS} TAS⊆MBF⊆{0,1}-LSSS
LSSS 等价于 MSP，分发的 SS 都是由 secret 以及 random 组成的向量和某个 LSSS 矩阵相乘来获得的。各个参与者最终会拿到和 LSSS 矩阵的某些行相关的一个向量。[BGG+18] 将那些被 MSP 接受的那些行的 indices 称为 valid share set，将它们对应的参与者称为 valid party set，可对应地定义两者的 maximal invalid set 以及 minimal valid set。

基于 Special FHE 以及 Special LSSS，构造 ThFHE 如下：

选择的参数应当满足：$B+l\cdot B_{sm}\le q/4$ 以及 $B/B_{sm}=negl(\lambda )$，从而需要设置超多项式大小的洪泛噪声的上界 $B_{sm}$ 以及超多项式大小的底层 FHE 密文模数 $q$，安全假设是超多项式因子的近似格问题的困难性。可以证明构造出的 ThFHE 满足：紧凑性、计算正确性、语义安全性、模拟安全性。

ThFHE from Shamir SSS

使用 LSSS 的一个缺点就是它的 SS 规模太大了，对于 TAS 的描述需要 $O(N^{5.2})$ 大小的单调公式。而 Shamir SS 的规模是和 secret 大小相同的。但是如果直接使用 Shamir SSS，它的拉格朗日插值系数需要除法（在 ${\mathbb{Z}}_q$ 上求逆元，范数往往很大），这导致噪声快速累计从而无法正确解密。

[BGG+18] 使用了 [Shoup00] 的 clearing out denominators（清理分母）策略：限制各个 party 的插值点为 $x=1,2,\cdots ,N$，特别地 dealer 插值点是 $0$，那么授权集 S ⊆ A t ∪ { 0 } S \subseteq \mathbb A_t \cup \{0\} S⊆At​∪{0} 的 Lagrange coefficients 形如：
λ i j S = ∏ k ∈ S \ { i } ( j − k ) ∏ k ∈ S \ { i } ( i − k ) ∈ Q \lambda_{ij}^S = \frac{\prod_{k \in S\backslash\{i\}}(j-k)}{\prod_{k \in S\backslash\{i\}}(i-k)} \in \mathbb Q λijS​=∏k∈S\{i}​(i−k)∏k∈S\{i}​(j−k)​∈Q
它们被用于计算 $s_j={\sum }_{i\in S}{\lambda }_{ij}^S\cdot s_i$，其中 $i\in S$ 是授权集内的参与者，而 j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N } \ S j \in \{1,2,\cdots,N\}\backslash S j∈{1,2,⋯,N}\S 是其他参与者。容易看出这些插值系数的分母都整除 $\Delta =(N!{)}^2$，因此 $\Delta \cdot {\lambda }_{ij}^S\in \mathbb{Z}$ 是整数，并且上界是 $|\Delta \cdot {\lambda }_{ij}^S|\le (N!{)}^3$，它们都是低范数的整数。

基于 Special FHE 以及 Shamir SSS，构造 ThFHE 如下：

选择的参数应当满足：$B+(N!{)}^3\cdot N\cdot B_{sm}\le q/4$ 以及 $B/B_{sm}=negl(\lambda )$，这也需要超多项式近似因子的困难假设。可以证明构造出的 ThFHE 满足：计算正确性、语义安全性、模拟安全性。但是它不满足紧凑性，因为密文模数的规模和 $N$ 有关，比特长度的增长因子是 $O(N\log N)$

Decentralized ThFHE

上述的 ThFHE 是中心化的，它在很多场景下有限制。除了是否存在可信方这个问题，还有参与者动态地加入和退出的情况，这导致 Setup 的频繁执行。

[BGG+18] 定义了一个去中心化的版本，记为 dThFHE，它没有 Setup 阶段。为了实现门限，他们在 Enc 算法中让各个参与者独立地生成 FHE 私钥及其 SS，然后再利用 PKE 封装这些 SS 到密文中。接口为：

类似的，定义它的一些属性：计算正确性、语义安全、模拟安全。由于 dThFHE 密文中需要包含给各个参与者的 SS 的 PKE 加密，因此密文规模一定会和 $N$ 有关，因此定义了弱紧凑性。这些属性的定义我就不抄过来了，太繁琐。

构造如下：

它是一个满足各项属性的 dThFHE 方案。注意 TFHE.Setup 必须在每次 Enc 时独立地生成，因为它的私钥已经被分发在了密文中的 PKE 部分，不应该复用。所以，即使是单个参与者生成的不同密文，它们之间也无法相互作用。

不过，如果将底层的 FHE 替换为 [CM15] 提出的 Multi-Key FHE，那么获得的 MK dThFHE 是可以数据交互的。对于 ThFHE.Setup 生成独立的公私钥，它们的密文总可以先利用 masking system 转换成某组参与者对应的 expanded ciphertext，然后这些扩展的密文互相之间可以运算，最后解密时需要这组参与者中每个人的 FHE 私钥，这被从 PKE 密文中恢复出来。

Universal Thresholdizer

Definition

[BGG+18] 利用 ThFHE 给出了其他密码学原语的门限版本的通用构造：门限转化器（universal thresholdizer, UT）

他们把 Setup 和 Enc 合并（使用 ThFHE 加密 secret 作为 pp 的一部分），把 Eval 和 PartDec 合并（各个参与者对这个 secret 密文做同一个运算，然后部分解密），并添加了 PartVerify 提供鲁棒性。确切地说，UT 提供了这样的一个功能：由 dealer 分发 ThFHE 私钥，同时 dealer 还用 ThFHE 加密某个秘密 $x$ 获得 $ct(x)$ 密文；接着对于公开的某个电路 $C$，各个 party 同态计算出 $ct(C(x))$，然后立即部分解密得到 $p_i$，它们是计算结果 $C(x)$ 的一组 SS；最终这些 SS 可以合成为 $C(x)$ 本身。即 UT 把关于秘密 $x$ 的电路 $C$ 给 “门限化” 了，只有满足访问结构的一组参与者同时计算 $C(x)$ 以获得它的 SS，才能最终获得 $C(x)$ 结果，这里的 $x$ 是被 Setup 固定到 pp 里的，而公开的电路 $C$ 可以随意变化。

UT 的接口为：

紧凑性、计算正确性、验证正确性：

鲁棒性：

模拟安全性：

UT from PZK

带预处理的 ZKP 系统（zero knowledge proof system with pre-processing, PZK）是 NIZK 的弱化，它的存在性只需要比 NIZK 所要求的弱得多的假设。PZK 只有最后一轮通信需要从 Prover 发往 Verifier，之前的所有通信轮次都可以被双方离线计算。

[BGG+18] 利用 ThFHE、PZK 系统（证明执行了正确的计算）、非交互的承诺（绑定 ThFHE 私钥的 SS），给出了 UT 的构造。

• [LS90] 在 OWF 存在的假设下，给出了 NIZK with CRS 的构造，我们可以根据 LWE 问题来构造 OWF（虽然效率会很低）
• [GHK+17] 基于（超多项式近似因子的） LWE 假设，构造了 non-interactive commitments，因此并不引入新的假设。

构造如下：

可以证明它满足 UT 所要求的各种属性。

UT from HS

同态签名（homomorphic signature, HS）允许在签名上执行同态运算，可用于证明 $y$（生成 $y$ 的签名）确实是 $x$（已经被签名）在电路 $C$（公开的）上正确计算的。它的接口是：

HS 的功能是：

假设 SIS 困难，[GVW15] 给出了 (Leveled) FHS 的构造。因此利用 HS 提供 UT 的鲁棒性，也只需要格上困难问题，并没有引入新的假设。这篇文章我还没看，具体的构造，略。

HS 比 NIZK 更加紧凑，并且可以直接基于 LWE 构造出来，因此将它应用到 UT 的构造中替换 NIZK 以提供鲁棒性，在性能上会更好一些。容易把上述的 UT from PZK 修改为 UT from HS，略。

Threshold Cryptosystems from UT

[BGG+18] 利用 Universal Thresholdizer，将其他的多种密码原语转换成对应的门限版本。

Function Secret Sharing

[BGI15] 提出了函数秘密分享（Function Secret Sharing, FSS），类似于 SSS，但是分发的不再是消息，而是去分发函数。接口是：

紧凑性、计算正确性、安全性：

利用 UT 以及 PRF，可以给出 FSS 的构造。简记 $\mathcal{U}(f,x)$ 是计算 $f(x)$ 的通用电路（universal circuit），简记 ${\mathcal{U}}_x$ 是硬编码 $x$ 的电路。

Threshold Signatures

门限签名是把 signing key 分发给多个签名者，只有满足某访问结构的签名者小组可以共同生成一个合法的签名。

紧凑性、计算正确性、部分验签正确性：

（弱）不可伪造性：

鲁棒性、匿名性：

使用 UT 将底层 Sign 门限化，

Others

[BGG+18] 还利用 UT 给出了：CCA Threshold PKE，Compact ThFHE， Threshold Distributed PRFs

基本的思路都是：对于携带秘密的原始电路 $C(k,s)$，将它的秘密 $k$ 使用 UT.Setup 分发，然后使用 UT.Eval 对硬编码了字符串 $s$ 的电路关于这些秘密的 SS 做运算，生成了运算结果的 SS，最后再用 UT.Combine 将它们组合成最终的结果。