一、摘要

本文主要讲述了主成分分析法（PCA）的原理和应用。PCA通过选择最重要的特征，将高维数据映射到低维空间，同时保持数据间的关系，实现降维和去噪。通过具体的例子和图示解释了PCA的原理，并比较了两种降维方案，解释了为什么选择将数据映射到x轴上可以得到更好的分类效果。最后强调了在PCA之前需要对所有样本的均值进行归零处理。通过这篇文章，读者可以深入了解PCA的原理和应用，并掌握如何使用PCA进行数据降维和去噪，提高分类效果。

二、主成分分析的基本概念

1. 定义：
   PCA（Principal Component Analysis）即主成分分析，是机器学习中一种常用的数据分析技术，PCA 是一种无监督的线性降维算法，它通过线性变换将原始数据转换为一组新的特征，这些新特征被称为主成分，它们是原始特征的线性组合，并且在尽可能保留原始数据信息的前提下，实现数据维度的降低。
2. 作用：
   • 数据降维：在很多实际应用中，数据的维度可能非常高，这会导致计算量增大、模型训练时间变长以及可能出现的过拟合等问题。PCA 可以将高维数据映射到低维空间，在保留大部分关键信息的同时，大大减少数据的维度，提高计算效率和模型性能。
   • 去除噪声和冗余：原始数据中往往存在一些噪声和冗余信息，这些信息可能会干扰模型的训练和预测。PCA 通过提取主成分，可以去除一些与其他特征高度相关的冗余信息，以及一些对数据整体结构影响较小的噪声，使数据更加干净和易于处理。
   • 数据可视化：对于高维数据，很难直接进行可视化展示。通过 PCA 将数据降维到二维或三维空间后，可以方便地进行数据可视化，帮助人们直观地理解数据的分布和结构，发现数据中的潜在规律和异常点。
3. 底层原理：
   • 协方差矩阵与特征值分解：首先计算原始数据的协方差矩阵，协方差矩阵可以衡量各个特征之间的相关性。然后对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征值表示对应主成分的方差大小，特征向量则表示主成分的方向。
   • 主成分的选取：按照特征值从大到小的顺序对特征向量进行排序，选择前k个特征向量作为主成分，其中k是降维后想要得到的维度。这些主成分所对应的特征值较大，意味着它们能够解释原始数据中较大比例的方差，即包含了原始数据的大部分重要信息。
   • 数据投影：将原始数据投影到选取的主成分所张成的子空间上，就得到了降维后的数据。具体来说，对于原始数据中的每个样本，通过与主成分对应的特征向量进行线性变换，将其映射到新的低维空间中。
4. 补充方差的概念
   1. 方差的意义：方差是数据点与其平均值之间差异的平方的平均数。它反映了数据分布的分散程度。
   2. 方差大 vs 方差小：
      • 方差大：数据点远离均值，分布广泛，样本显得稀疏。
      • 方差小：数据点接近均值，集中分布，样本显得紧密。
   3. 图形化理解：高方差的数据通常在图表中表现为更长的尾巴或更大的范围，而低方差则集中在中间区域。
      结论：方差越大，样本间越稀疏；方差越小，样本间越紧密。

三、主成分分析的数学模型

1. PCA的目标是找到一个方向向量w，使得所有样本映射到该方向后方差最大。而PCA寻找最大方差方向，进行数据降维。
   

2. 映射后的样本方差计算公式为每个样本与方向向量w的点积的平方和除以样本数量m。 映射过程可以通过几何方式解释，即将每个样本点垂直投影到目标方向向量w上。投影长度等于样本点与方向向量w的点积结果，反映了样本在该方向上的分布情况。
   

3. 当均值为零时，方差计算公式进一步简化为向量模的平方和除以m。
   

五、主成分分析法目标函数公式推导（梯度上升法求解目标函数）

1. 目标函数对每一个w求偏导数（梯度）：
   

2. 通过向量点乘后简化公式如下：
   

3. 通过进一步向量化点乘处理后，可以简化如下所示：
   

4. 最后来看下简化的梯度：
   

六、梯度上升法求解目标函数第一个主成分

1. 生成测试数据集

   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt# 生成数据
   X = np.empty((100, 2))
   X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
   X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)# 绘制数据散点图
   plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
   plt.show()
   

   效果：
   

2. 均值归零处理

   # 在进行PCA之前需要实现均值归一划处理，也就是将均值归零
   # 1. 定义均值归零的函数，定义了一个名为demean的函数，该函数接受一个数据集X作为参数。
   def demean(X):# return X - np.mean(X, axis=0) 是函数的主体部分。# np.mean(X, axis=0)计算数据集X每列的均值，axis=0表示沿着列方向计算。# 然后用原始数据集X减去每列的均值，实现对数据的去均值操作，即让每列数据的均值变为 0 ，最后返回去均值后的数据。return X - np.mean(X, axis=0) # 2. 调用函数，并赋值给X_demean
   X_demean = demean(X)# 3. plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1]) 使用matplotlib库的scatter函数绘制散点图，横坐标为去均值后数据X_demean的第一列，纵坐标为第二列。
   plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1])
   plt.show()
   

   效果：
   
   验证下均值归零是否正常：

   # 验证下均值归零是否正常
   print(np.mean(X_demean[:, 0])) # 计算第一列均值
   print(np.mean(X_demean[:, 1])) # 计算第二列均值
   

   结果：
   1.1723955140041652e-14 约等于0
   2.5579538487363606e-15 约等于0

3. 目标函数、梯度上升法等对应公式的代码实现

   # 1. 实现目标函数：找到w，使得方差最大的函数，接受权重向量w和数据集X作为参数
   def f(w, X):return np.sum((X.dot(w)**2)) / len(X)# 2. 求梯度，即目标函数f的解析梯度函数，用于计算梯度。这里通过数学推导得出的梯度公式，X.T.dot(X.dot(w) * 2. / len(X))实现对目标函数求导后的计算，返回梯度向量。
   def df_math(w, X):return X.T.dot(X.dot(w) * 2. / len(X))# 3. 该函数是通过有限差分法近似计算梯度，用于调试和验证df_math函数的正确性。
   #    epsilon是一个很小的数，用于计算数值梯度。通过分别对权重向量w的每个维度加上和减去epsilon，计算对应的函数值差，再除以2 * epsilon来近似该维度上的梯度，最终返回一个近似梯度向量。
   def df_debug(w, X, epsilon=0.0001):res = np.empty(len(w))for i in range(len(w)):w_1 = w.copy()w_1[i] += epsilonw_2 = w.copy()w_2[i] -= epsilonres[i] = (f(w_1, X) - f(w_2, X)) / (2 * epsilon)return res# 4. 该函数用于将输入的向量w进行归一化处理，使其成为单位向量。
   #    np.linalg.norm(w)计算向量w的范数（长度），通过将向量w的每个元素除以其范数，得到方向不变但长度为 1 的单位向量。
   def direction(w):return w / np.linalg.norm(w)# 5. 定义gradient_ascent函数，实现梯度上升算法：
   # def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon=1e-8)，实现梯度上升算法。参数含义如下：
   # df：计算目标函数梯度的函数。
   # X：数据集。
   # initial_w：初始权重向量。
   # eta：学习率，控制每次权重更新的步长。
   # n_iters：最大迭代次数，默认值为10000（1e4）。
   # epsilon：收敛阈值，默认值为1e-8，用于判断算法是否收敛。
   # w = direction(initial_w)，对初始权重向量initial_w进行归一化处理，得到初始的单位权重向量w。
   # cur_iter = 0，初始化当前迭代次数为0。
   # while cur_iter < n_iters:，开始迭代循环，只要当前迭代次数小于最大迭代次数就继续执行：
   # gradient = df(w, X)，调用梯度计算函数df，计算当前权重w下的梯度。
   # last_w = w，保存上一次的权重向量。
   # w = w + eta * gradient，根据梯度上升公式更新权重向量，沿着梯度方向移动eta倍的梯度长度。
   # w = direction(w)，对更新后的权重向量w再次进行归一化处理，保持其为单位向量。
   # if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon): break，计算当前权重和上一次权重对应的目标函数值之差的绝对值，如果小于收敛阈值epsilon，则认为算法收敛，跳出循环。
   # cur_iter += 1，每次迭代结束后，迭代次数加1。
   # return w，循环结束后，返回最终得到的权重向量。
   def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon=1e-8):w = direction(initial_w)cur_iter = 0while cur_iter < n_iters:gradient = df(w, X)last_w = ww = w + eta * gradientw = direction(w)if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):breakcur_iter += 1return w
   

   验证代码正确性：

   # 测试梯度上升法求解结果的正确性
   # 初始化权重向量
   # 生成一个长度等于数据特征维度（这里是 2）的随机权重向量。不能用 0 向量开始，可能是因为用 0 向量开始在梯度上升法迭代中会导致一些问题，比如收敛缓慢或无法收敛。
   initial_w = np.random.random(X.shape[1])  # 注意2：不能用0向量开始
   print(initial_w)# 设置梯度上升法中的学习率，控制每次权重更新的步长。
   eta = 0.001# 注意3：不能使用StandardScaler标准化数据
   print(gradient_ascent(df_debug, X_demean, initial_w, eta))
   print(gradient_ascent(df_math, X_demean, initial_w, eta))
   

   结果如下：
   [0.55799828 0.70512732]
   [0.76320173 0.64616029] df_debug函数求得的数据
   [0.76320173 0.64616029] df_math函数求得的数据，和df_debug函数求得的数据是一致的。

4. 求解第一主成分

   # 调用gradient_ascent函数，传入梯度计算函数df_math、去均值后的数据集X_demean、初始权重向量initial_w和学习率eta，通过梯度上升法计算得到最终的权重向量w。
   w = gradient_ascent(df_math, X_demean, initial_w, eta)# 绘制w向量在二维坐标平面上的图像，这就是我们通过梯度上升法找到的第一个主成分
   plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1]) # 横坐标为X_demean的第一列数据，纵坐标为第二列数据
   plt.plot([0, w[0]*30], [0, w[1]*30], color='r') # 由于w是单位向量，对于的数字太小了（1），为了图像好效果明显些，这里分别在横纵坐标轴各自乘以30作为系数
   plt.show()
   

   效果如下：
   

七、求解前n个主成分及PCA在数据预处理中的处理步骤（后续实现）

1. 数据标准化：首先对原始数据进行标准化处理，将每个特征的均值变为0，方差变为1。这是因为PCA对数据的尺度比较敏感，如果不同特征的尺度差异较大，可能会导致某些特征在协方差计算中占据主导地位，影响主成分的提取效果。均值归零的处理办法：
   • 在进行主成分分析之前，需要对所有样本进行均值归零处理。
   • 均值归零处理通过减去样本整体均值，使样本在每个维度上的均值变为零。
   • 处理后的方差计算公式得到简化，方便后续计算。
2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，协方差矩阵能够反映各个特征之间的线性关系。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 确定主成分个数：根据具体的应用需求和数据特点，确定需要保留的主成分个数k。常见的方法是根据累计方差贡献率来确定，即选择使得累计方差贡献率达到一定阈值（如80%、90%等）的最小k值。
5. 构建主成分矩阵：选取前k个最大特征值对应的特征向量，构建一个大小为n×k的主成分矩阵，其中n是原始数据的特征维度。
6. 数据降维：将原始数据与主成分矩阵相乘，得到降维后的数据。降维后的数据维度为k，且尽可能保留了原始数据的重要信息。