本章是课程算法与方法中的第四章，介绍的时序差分学习算法是基于随机近似方法设计的强化学习方法，也是model-free的方法。

时序差分算法是一种近似估计策略状态值的算法，具体的形式如下：

本质上是在当前t时刻，被访问到的状态采用近似迭代的策略（即上一章讲的RM算法）估计出一个状态值，没被访问到的维持不变。TD算法更新状态值的公式，可以展开来看。

TD Target是状态值的定义，当前回报加上打折后的后续状态值。TD Error是相关估计误差，类似于SGD里面的梯度。这里证明了随着迭代的持续，估计值会慢慢想真实值靠拢。

而TD Error是用于衡量t时刻的状态值与真实的状态值，如果相等皆大欢喜，如果不相等，则提供了策略修改的信息。

这里引入了一个贝尔曼方程的另一种形式-贝尔曼期望方程。

因为是Model-free，所以只能获取到相关的采样输入，代进贝尔曼期望方程，则为

所以，用RM算法计算状态值，可以表现为一下的一个迭代公式

TD算法的公式再次贴过了，方便两者的对比（即公式3和公式6）。

两个公式有一下差异，对RM算法的表达形式（即公式三）进行对应的修改，就变成了TD算法（公式六）。

这里对比了MC算法和TD算法，TD的算法快一些，不需要等所有抽样结束才开始算。

TD算法适用于计算状态值的算法，对应计算行为值的类似算法叫做Saras（state-action-reward-state-action的缩写），其表达式为

通过Saras算法，可以计算出行为值的期望值，并进一步找到最优策略，具体的方式如下伪代码所示；

介绍完Saras算法，后续是n-step Saras算法，这是Saras和MC算法的结合体。

n是这个算法的一个超参数，设为1变成原版的Saras算法，设为无穷则变成了MC算法。

n-step Saras结合了Saras和MC算法的特点，通过n来调整算法的倾向性。

然后是大名鼎鼎的Q-Learning，Saras的思路是估算出一个策略的行为值，并结合策略改进找到最优策略。而Q-Learning的策略是一步到位。

Q-Learning算法的数学模型如下所示，与Saras算法的形式类似，唯一区别就是TD Target（红框部分）

Q-Learning本质上就是用贝尔曼最优方程计算最优行为值。后面提到了On-policy和Off-policy，如果行为策略和目标策略一致，就是On-policy，否则就是Off-policy。

Off-policy的优点就在于，可以通过另一个策略的采样结果，来找到目标策略的最优情况。

那么怎么判断一个TD算法是On-policy还是Off-policy呢？第一个是看要解决的数学问题，第二个是看算法对实验样本的要求。

Q-Learning是Off-policy，而Saras和MC都是On-policy，因为需要计算的策略，用到的数据都是相同的策略生成的，同时也是个策略问题，都是通过迭代找到最优策略的。

Q-Learning完全不一样

Q-Learning分别可以用On-policy和Off-policy实现，下面是两种方法的伪代码

本章介绍的几个算法，数学模型的架构都是一样的，唯一的区别就是TD Target不一样。

这几个算法都是随机近似法来解决贝尔曼方程或贝尔曼最优方程（Q-Learning）。

个人感觉Monte Carlo、Saras和n-step Saras，分别类似于随机梯度下降、梯度下降、小批量梯度下降。