文章目录
- 前言
- 正文
- 矩阵和向量相乘
- 二维变换
- 1、缩放
- 2、旋转
- 3、平移
- 4、齐次坐标下总结
- 三维变换
- 1、缩放
- 2、平移
- 3、旋转
- 绕X轴旋转:
- 绕Z轴旋转:
- 绕Y轴旋转:
- 结尾:喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦
前言
前面章节补充了一下基本的线性代数中关于向量和矩阵的背景知识,这一节咱们讲解一下在二维和三维中常用的空间变换,主要包括:平移、旋转、缩放等!
正文
矩阵和向量相乘
假设有一个矩阵 M M M,有一个向量 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy),则令 P ⃗ ′ = M × P ⃗ = ( x ′ y ′ ) \vec P' = M \times \vec P = \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} P′=M×P=(x′y′).
从上节,我们已经知道矩阵和向量相乘结果还是个向量,假设我们把向量 P P P 看作一个坐标,那么 P ′ P' P′ 的坐标就是矩阵 M M M 应用之后的结果,此时我们称对点 P P P应用矩阵 M M M的变换。
二维变换
假设在二维空间下,矩阵 M M M 是2x2的,向量 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy) 是二维向量。
矩阵乘向量在二维空间本质理解: 假设我们将 M M M 按照列方向,分解成两个列向量 ( α 1 ⃗ , α 2 ⃗ ) (\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}) (α1,α2),则 P ′ ⃗ = ( x α 1 ⃗ + y α 2 ⃗ ) \vec{P'} = (x\vec{\alpha_1} + y\vec{\alpha_2}) P′=(xα1+yα2)
结果表明: 矩阵和向量相乘,就相当于向量的轴分量作为权重,给矩阵的列向量加权求和!
类似的,我们也可以把矩阵按照行向量分解,也可以表达成矩阵的行向量加权相加的形式。只不过列向量分解形式更为常见!
1、缩放
缩放矩阵M如下, S x S_x Sx 为x轴向的缩放因子, S y S_y Sy 为y轴向的缩放因子。
[ s x 0 0 s y ] \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix} [sx00sy]
则 P ′ = M P = [ s x 0 0 s y ] ∗ ( x y ) = ( s x ∗ x s y ∗ y ) P' = MP = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y\\ \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x * x\\s_y * y \end{pmatrix} P′=MP=[sx00sy]∗(xy)=(sx∗xsy∗y)
举个例子: M = [ 0.5 0 0 0.5 ] M = \begin{bmatrix} 0.5& 0\\ 0 & 0.5\\ \end{bmatrix} M=[0.5000.5] , P = ( 2 2 ) P = \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} P=(22),则 P ′ = ( 1 1 ) P' = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} P′=(11),如下图所示:
2、旋转
默认地,正角度旋转代表逆时针,如下图所示的红色正方形,就是旋转45°
旋转矩阵 R θ R_\theta Rθ 如下:
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ]
基本推导如下图:
我们使用最笨的待定系数法求解,将矩阵 R θ R_{\theta} Rθ 设为 [ A B C D ] \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix} [ACBD],然后将两个点的前后结果带入计算,如下:
[ A B C D ] ( 1 0 ) = ( cos θ sin θ ) , [ A B C D ] ( 0 1 ) = > ( − sin θ cos θ ) \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{\theta}\\\sin{\theta} \end{pmatrix}, \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -\sin{\theta}\\\cos{\theta} \end{pmatrix} [ACBD](10)=(cosθsinθ),[ACBD](01)=>(−sinθcosθ)
所以自然得到:
A = cos θ B = − sin θ C = sin θ D = c o s θ \begin{align} A &= \cos \theta\\ B &= -\sin \theta\\ C &= \sin \theta\\ D &= cos \theta\\ \end{align} ABCD=cosθ=−sinθ=sinθ=cosθ
3、平移
平移就是让x轴和y轴的坐标分别偏移一定的量,如下图所示:
x ′ = x + t x y ′ = y + t y x' = x + t_x\\ y' = y + t_y x′=x+txy′=y+ty
我们记 P = ( x y ) P = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} P=(xy) , P ′ = ( x ′ y ′ ) P' = \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} P′=(x′y′), T = ( t x t y ) T = \begin{pmatrix} t_x\\t_y \end{pmatrix} T=(txty) ,则上述可以表示为 P ′ ⃗ = P ⃗ + T ⃗ \vec{P'} = \vec P + \vec T P′=P+T
但是我们发现,上述的形式没有用上矩阵,但在数学、物理中,人们都讲究统一,因此人们引入了齐次坐标的概念。
为了迎合平移也能统一使用矩阵进行变换,认为的给二维的向量添加一个维度,升为三维,如下:
p o s i t i o n = ( x y 1 ) , v e c t o r = ( x y 0 ) position = \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix},vector = \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} position= xy1 ,vector= xy0
我们发现,位置向量咱们第三维补充1,方向向量咱们第三维补充0。
于是,咱们自然而然就可以定义出平移矩阵T,如下:
T = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] 注: t x 表示 x 轴的偏移量, t y 表示 y 轴的偏移量 T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注:t_x 表示x轴的偏移量,t_y表示y轴的偏移量 T= 100010txty1 注:tx表示x轴的偏移量,ty表示y轴的偏移量
于是,针对位置点的平移、以及位置向量的平移计算结果如下:
我们发现,方向向量的结果没有变化,这难道出问题了么?并没有,因为方向向量本身就是位置无关的,不变才是对的,而针对某个顶点是变化了的,这就符合咱们的要求!
4、齐次坐标下总结
引入齐次坐标后,缩放和旋转矩阵多了一个维度,这里列举一下:
缩放矩阵:
S = [ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ] S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} S= sx000sy0001
旋转矩阵:
R = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R= cosθsinθ0−sinθcosθ0001
平移矩阵:
T = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ T= 100010txty1
三维变换
首先,由于多引入了一个维度,复杂度上升。坐标系自然而然分为两种:左手系、右手系,示意图如下:
**为了方便,后续三维空间中的矩阵变换讲解以右手系为例!**左手系也是类似,大家熟练之后可自行推导!
同理,在三维坐标系下,同样为了统一平移的操作,引入齐次坐标后,变换矩阵都是4x4的,这里不多赘述!
1、缩放
由于缩放最是容易,也最容易理解,这里直接给出缩放矩阵:
S = [ s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ] 注: s x 、 s y 、 s z 分别为 x 、 y 、 z 轴的缩放比例 S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注:s_x、s_y、s_z分别为x、y、z轴的缩放比例 S= sx0000sy0000sz00001 注:sx、sy、sz分别为x、y、z轴的缩放比例
2、平移
也是类似,这里直接给出平移矩阵:
T = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] 注: t x 、 t y 、 t z 分别为 x 、 y 、 z 轴的偏移量 T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ 注:t_x、t_y、t_z分别为x、y、z轴的偏移量 T= 100001000010txtytz1 注:tx、ty、tz分别为x、y、z轴的偏移量
3、旋转
由于三维世界中,旋转并不是绕一个点,而是绕一个旋转轴,所以最简单的旋转就是绕:x、y、z轴的旋转。
旋转规则: 绕某个轴旋转 θ \theta θ 角度,就是表明逆着此轴的方向眼睛看过去,逆时针旋转 θ \theta θ 角度。
例如如下示意图就是绕z轴旋转 θ \theta θ 角度:
并且我们一定要理解,绕z轴转动时,所有点的z坐标是不会变化的!
这里需要对照二维空间中的旋转矩阵的理解,本质上:二维旋转就是将两个相互垂直的基向量作为坐标轴,逆时针旋转的结果
所以,上述的绕z轴的旋转,可以理解为基向量就是 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} 100 和 ( 0 1 0 ) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} 010
这里给出一个基本任意正交基向量 i ⃗ 、 j ⃗ \vec{i}、\vec{j} i、j 的旋转示意图:
绕X轴旋转:
示意图如下:
因此,我们只是将基向量变成 ( 0 1 0 ) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} 010 和 ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} 001
所以,很容易构造出以下等式:
[ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ] ( x i j 1 ) = ( x cos θ ∗ i − sin θ ∗ j sin θ ∗ i + cos θ ∗ j 1 ) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\i\\j\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\1 \end{pmatrix} 10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001 xij1 = xcosθ∗i−sinθ∗jsinθ∗i+cosθ∗j1
自然而然可以得出,绕x轴的旋转矩阵如下:
R x = [ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ] R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rx= 10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001
绕Z轴旋转:
同理,示意图:
容易构造出以下等式:
[ cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ( i j z 1 ) = ( cos θ ∗ i − sin θ ∗ j sin θ ∗ i + cos θ ∗ j z 1 ) \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} i\\j\\z\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\\sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\z\\1 \end{pmatrix} cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001 ijz1 = cosθ∗i−sinθ∗jsinθ∗i+cosθ∗jz1
自然而然可以得出,绕z轴的旋转矩阵如下:
R z = [ cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R_z = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz= cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001
绕Y轴旋转:
Y轴相比X和Z比较特殊,也是新手初学三维空间旋转最容易困惑的地方。但在咱们这里不存在,示意图如下:
容易构造出以下等式:
[ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] ( j y i 1 ) = ( sin θ ∗ i + cos θ ∗ j y cos θ ∗ i − sin θ ∗ j 1 ) \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \begin{pmatrix} j\\y\\i\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin{\theta}*i + \cos{\theta} * j\\y\\\cos{\theta}*i - \sin{\theta} * j\\1 \end{pmatrix} cosθ0−sinθ00100sinθ0cosθ00001 jyi1 = sinθ∗i+cosθ∗jycosθ∗i−sinθ∗j1
咱们发现,这里的形式稍微较绕x和绕z不一样了
本质就是因为这里的正交基分别是: ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} 001 和 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} 100
自然而然可以得出,绕y轴的旋转矩阵如下:
R y = [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] R_y = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ry= cosθ0−sinθ00100sinθ0cosθ00001
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