一、多元函数微分学

1.1、多元函数微分学概念

连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义

多元函数可微、可偏导、连续的关系

可微=>可偏导（可导指两个偏导数存在，反之不成立，例如定义域只在两个坐标轴）
可微=>连续（反之不成立，例如墙角的折叠的面，连续但不可微）

复合函数求偏导（链式法则）、全微分的计算

隐函数求偏导（隐函数存在定理、等式两边求导法）

隐函数存在定理可以通过把一个变量看作其他变量的函数证明

1.2 方向导数、梯度的计算

物理意义：
一元函数求导数是描述在线上的点在坐标轴方向的变化率
二元函数求偏导数是描述面上的点在坐标轴方向的变化率
二元函数求方向导数描述面上的点沿着任意一个指定方向的变化率
方向导数标量，描述沿着某个方向的变化率
梯度矢量，描述多元函数变化率最大的方向
综上：沿着梯度矢量的方向，方向导数标量取最大值

计算梯度：

用来计算方向导数的梯度不能化简！
梯度函数：通过标量方程求偏导数组成的矢量函数，
某点的梯度：是一个确定的矢量，梯度函数带入点的坐标（二维或三维）

计算方向导数：

影响大小因素——点的坐标即梯度，单位方向向量(方向余弦)
方向导数函数：梯度函数 点积 方向余弦
某点、某方向的方向导数：该点梯度 点积 某方向方向余弦
某点方向导数最大值：该点梯度 点积 沿梯度方向余弦=梯度模

1.3 法向量、方向余弦、梯度

圆锥举例——曲面上点梯度与曲线的法向量的关系:
平面曲线：二元方程$y^2+x^2=1$
空间曲面：二元函数$f=x^2+y^2$，三元方程$f-y^2-x^2=0$
空间曲面求梯度$\frac{\delta (f)}{\delta (x)}i+\frac{\delta (f)}{\delta (y)}j$
平面曲线是空间曲面的一个特例,一条等高线，垂直等高线变化最快
曲面上的点增长最快的方向，投影就是曲线的法向
知乎：梯度与面的法向量的关系

1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)

梯度、散度、旋度专题

1.5 多元函数极值问题

无条件极值

条件极值（拉格朗日乘数法）

解拉格朗日乘数法的方程：相似的因式作差
得到所以可能的极值点，然后自己带入判断是极大还是极小值

限定条件的最值问题（驻点+偏导不存在+每个边界）

二、多元函数积分学：先用对称性质

2.0、积分的对称性（奇偶对称性与轮换对称性）

1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性

被积函数的奇偶对称性是关于某个变量的，例：f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)
被积区域的对称性是关于某个轴（面）可以翻转过来，例：[-1,1]的区域
eg：y=|x|在-1到1上积分，等于两倍的在[0,1]上积分

2.第二型曲线曲面积分的对称性

如果被积变量中不含那个积分变量，那肯定没有对称性
其他与前面结论相反：偶函数是0.奇函数是2倍

2.1、一重积分:对f(x)积分，被积区域是坐标轴

1.物理意义：

平面上的直线或曲线与坐标轴围成的面积

2.定积分的应用：

1、定积分定义

2、旋转体的体积

3、旋转体的表面积

3.重积分的应用

形心或质心、转动惯量

2.2、二重积分:对f(x,y)积分，被积区域是平面

1.计算方法：

1.直角坐标系：穿线法
2.极坐标系：注意半径的起始大小，对于圆心不在原点的圆同样适用
3.换元法（雅克比行列式）

2.物理意义

1：求密度不均匀的面的质量（f(x,y)表示密度）
2：求以曲面为顶的柱体的体积（f(x,y)表示高度）
注1：被积函数为1，就是被积区域的面积 或 高度为1的柱体体积
注2：二重积分上限大于下限，二次积分上限不一定大于下限

2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分，被积区域是立体

1.计算方法：先积的变量转化为后积的变量

1.直角坐标系：转换为二重积分

1）先一后二法：投影法

直角坐标系
“先一”： 上下限是x、y表达式，积分结果只含x、y
" 后二"：投影的二重积分，可能用到极坐标

柱面坐标系：先一后二的变形$(x,y,z)变成(\theta ,r,z)$
“先z”：积分上下限是两个面z=z2(x,y),z=z1(x,y)用（r,$\theta$）
$$\rho 与\theta 适用于g\sqrt{x^2+y^2}或者被积区域是柱体$$

2）先二后一法：切苹果

“先二”：$(x,y,z)变成(z,\theta ,r)$
被积函数含x、y,可能用到极坐标上限变成含z的式子（z当成常数）
被积函数是1，"先二"就变成每层苹果的面积可以由含z的式子代替！！
“后一”：z上下限是常数的定积分

3）球面坐标系

$$r与\theta 与\varphi 适用于f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})或者被积分区域是球体、锥体$$

2.物理意义：

求密度不均匀的立体的质量（f(x,y,z)表示密度）
注：被积函数为1，就是被积区域的体积

2.4、第一类曲线积分：

1.定义：

对弧长的曲线积分，被积区域是无方向曲线L，微元ds

2.物理意义：

给平面曲线的密度f(x,y)或空间曲线的密度f(x,y,z)，求曲线的质量
注：被积函数为1，求曲线的弧长

3.计算方法：ds转化为dx，再定积分

参数方程换元，弧微分ds=勾股定理dx与dy
空间曲线如何转化为参数方程：令某个变量为t,计算剩下两个变量如何用t表示

2.6、第一类曲面积分:

1.定义：

对面积的曲面积分,被积区域是无方向曲面S，微元dS

2.物理意义：

对给定空间曲面的密度f(x,y,z)，计算该曲面的质量。
注：被积函数为1就是求曲面的面积

3.计算方法：ds转化为dxdy，再二重积分

曲面微分dS 乘以 曲面上一点的在z轴的方向余弦=平面微分dxdy
z=z(x,y)的方向余弦cos r通过法向量得到

2.5、第二类曲线积分：对矢量的第一类曲线积分

1.定义：

对坐标的曲线积分是对矢量的第一类曲线积分
被积区域分解到坐标轴，被积函数的坐标轴分量分别积分

2.物理意义：

力的矢量拉着物体沿着曲线运动所做的功，将沿切向的小段位移分解到垂直的坐标轴上；同时将小段作用力也分解到垂直的坐标轴上，坐标轴分别作积分再求和得到总功。已知路径曲线方程，已知x,y两个方向的力分量或者x,y,z三个方向的力的分量，求功（有方向）

3.基本计算方法：dx与dy转化为dt，转化到定积分

参数方程换元

4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分

1.封闭第二类平面曲线积分转化到二重积分
2.条件：平面封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数

5.空间曲线的斯托克斯公式：转化到某类曲面积分

1.封闭第二类曲线积分(=封闭对矢量的第一类曲线积分)=旋度矢量的第一类曲面积分=第二类曲面积分
2.条件：空间封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数

转化为对矢量的第一类曲面积分：
通过右手定则选定一个面的方向，称为这个曲面的正向
然后转化为第二类曲面积分的计算

转化为第二类曲面积分：

注：

1.封闭的曲线满足使用格林公式或斯托克斯公式可以使用这两个公式
2.不封闭曲线如果满足积分与路径无关条件好算（本质还是格林或斯托克斯公式）
题型：补线法、挖孔法、补面法、挖洞法

2.7、第二类曲面积分：对矢量的第一类曲面积分

1.定义

点在直线上与点在某个面上有不同的价值
1.对坐标的曲面积分,被积区域分解到坐标平面
面的两个相反的法向量对应面的不同侧

2.物理意义：

在曲面上每一点的法向量与速度矢量做点积得到通量
给x,y,z分别方向上的流速，告诉你面方程，指定方向，求流量

3.基本计算方法：三个化为一个（方向余弦的关系）,换元转化到二重积分

注：
1.如果计算三个投影，不如利用方向余弦转换为计算一个投影
2.流量结果可正可负：
通过题干条件，确定曲面是哪一侧
根据曲面方向(法向量)与坐标轴夹角cosr，决定添加正负号
eg:
方向向量与坐标轴的三个正向都相同，则肯定为正
方向向量与坐标轴的三个正向都相反，则肯定为负
投影到xoy面，则判断这一侧的法向量朝上为正

4.高斯公式：转化到三重积分

1.封闭第二类曲面积分(=封闭对矢量的第一类曲面积分)=散度的三重积分
2.空间闭区域；具有一阶连续偏导数；曲面外侧

注：