微积分
- 求极限
- 函数极限
- 数列极限
- 递归定义的数列极限
- 单侧极限
- 累次极限
- 渐近线
- 微商和微分
- 微商（导数）
- 全微分
- 不定积分和定积分
- 不定积分
- 定积分
- 多重积分
- 级数
- 幂级数展开
- 幂级数计算
- Fourier级数
- 微分方程
- 求解常微分方程
- 求解偏微分方程
- 参考资料
求极限
函数极限
计算函数极限的形式：Limit [ expr, x->x0]
求下列极限
( 1 ) lim x → 0 sin ( a x ) x \displaystyle(1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a x)}{x} (1)x→0limxsin(ax)( 2 ) lim x → 1 ( m 1 − x m − n 1 − x n ) \displaystyle(2) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right) (2)x→1lim(1−xmm−1−xnn)
不是所有的函数都有确定的极限。例如 lim x → 0 sin ( 1 / x ) \displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x) x→0limsin(1/x)，极限不存在，在 0 0 0 附近，函数在 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 之间波动，Limit运算的结果是一个区间。
数列极限
数列的极限，可以用同样的形式进行计算。
计算数列的极限
( 1 ) lim n → ∞ ( n + n − n ) \displaystyle(1) \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}) (1)n→∞lim(n+n−n)
( 2 ) lim n → ∞ n ! n n \displaystyle(2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}} (2)n→∞limnnn!
递归定义的数列极限
设 x 1 = 2 , x n = 2 + x n − 1 , x_1=\sqrt{2},x_n=\sqrt{2+x_{n-1}}, x1=2,xn=2+xn−1, 求 lim n → ∞ x n . \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n. n→∞limxn.
单侧极限
Limit[expr, x -> x0] 计算 x → x0时函数 expr 的极限
Limit[expr, x -> x0, Direction -> 1] 计算x → x0时函数 expr 的左极限
Limit[expr, x -> x0, Direction -> -1] 计算x → x0时函数 expr 的右极限
计算下列极限：
( 1 ) lim x → 0 + log ( x ) x \displaystyle(1) \lim _{{x} \rightarrow 0^{+}} \frac{\log ({x})}{{x}} (1)x→0+limxlog(x)
( 2 ) lim x → ∞ Γ ( x + 1 2 ) x Γ ( x ) \displaystyle(2) \lim _{{x} \rightarrow \infty} \frac{\Gamma\left({x}+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{{x}} \Gamma({x})} (2)x→∞limxΓ(x)Γ(x+21)
累次极限
从 Mathematica 语言的语法上说，Limit 函数自己不带对多个变量取极限的功能即不能计算重极限，可以计算累次极限。
计算 lim y → ∞ lim x → ∞ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 \displaystyle\lim _{y \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} y→∞limx→∞lim(x2+y2xy)x2
还可以计算自变量沿某一固定路径趋向于固定点时，表达式的极限
渐近线
画出函数 f ( x ) = ( x − 5 ) 2 3 ( x + 1 ) \displaystyle f(x)=\frac{(x-5)^2}{3(x+1)} f(x)=3(x+1)(x−5)2 的斜渐近线。
函数f(x)的渐近线是指：当 x → ∞ x\to\infty x→∞ 时， f ( x ) f(x) f(x) 无限接近某一直线 y = x + b y=x+b y=x+b 即 lim x → ∞ ( f ( x ) − ( a x + b ) ) = 0 \displaystyle\lim_{x\to\infty} (f(x)-(a x+b))=0 x→∞lim(f(x)−(ax+b))=0，需要用极限的思想确定参数a和b的值。
微商和微分
微商（导数）
计算导数的命令是 D[f, x] 和 D[f, {x, n}],分别表示 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 和 f ( n ) ( x ) f ^{(n)}(x) f(n)(x) 。
计算导数和偏导数是同一命令。
如果 f f f是一元函数，D[f, x] 表示 d f d x \dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}x} dxdf；如果 f f f是多元函数，D[f, x] 表示 ∂ f ∂ x \dfrac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f
微商函数的常用形式如下：
| D[f, x] | 偏导数 ∂ f ∂ x \dfrac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f |
| D[f, x1, x2, …, xn] | 高阶偏导数 ∂ n f ∂ x 1 ∂ x 2 … ∂ x n \dfrac{\partial^{n} f}{\partial x_1 \partial x_ 2 \ldots \partial x_ n} ∂x1∂x2…∂xn∂nf |
| D[f, {x, n}] | n n n阶导数 ∂ n f ∂ x n \dfrac{\partial ^n f}{\partial x^n} ∂xn∂nf |
| D[f, x, NonConstants → {y1, y2, …, ym}] | 复合函数偏导数 ∂ f ∂ x , y 1 , ⋯ , y m \dfrac{\partial f}{\partial x},y_1,\cdots,y_m ∂x∂f,y1,⋯,ym是 x x x的函数 |
| D[f, {{x, y, z, …}}] | 偏导向量 ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z , … ) \left(\dfrac{\partial {f}}{\partial {x}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {y}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {z}}, \ldots\right) (∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f,…) |
求函数 f ( x ) = sin ( x 2 + x ) f(x)=\sin \left(x^2+\sqrt{x}\right) f(x)=sin(x2+x)在 x = 2 x = 2 x=2处的导数
全微分
在Mathematica中，D[f, x] 计算变量为 f 关于 x 的偏导数，系统默认f 中的其它变量与 x无关；
Dt[f] 给出f的全微分形式
Dt[f, x] 给出f的全导数，系统默认 f 中所有变量是 x 的函数。
对于f中不依赖于 x 的常量，要用选项 Constants -> {常量1, 常量2, …} 作出说明。
x , y x, y x,y 的函数关系由参数方程 x = 2 t 2 , y = sin ( t ) x = 2 t ^2, y = \sin(t) x=2t2,y=sin(t) 确定，求 y y y 关于 x x x 的二阶导数。
不定积分和定积分
不定积分
计算不定积分的命令是Integrate[f, x]，输出结果中省略积分常数。
计算二重积分的命令是Integrate[f, x, y]，积分的顺序是从右自左，先对变量y做积分计算，再对变量x做积分计算
Integreate主要计算只含有 “简单函数” 的被积函数。“简单函数” 包括有理函数、指数函数、对数函数、三角和反三角函数。
计算下列不定积分
( 1 ) ∫ 3 a x 2 d x \displaystyle(1) \int 3 {ax}^{2} \mathrm{d} {x} (1)∫3ax2dx
( 2 ) ∫ x 2 − a 2 d x \displaystyle(2) \int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \mathrm{d} x (2)∫x2−a2dx
( 3 ) ∫ cos x d x \displaystyle(3) \int \sqrt{\cos x} \mathrm{d} x (3)∫cosxdx
( 4 ) ∫ 1 1 + x 4 d x \displaystyle(4) \int \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{d} x (4)∫1+x41dx
Integrate可以计算形式上的积分
∫ e x ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) d x \displaystyle\int e^x(f(x)+f'(x)) \mathrm{d} x ∫ex(f(x)+f′(x))dx
Integrate可以计算分段函数积分
f ( x ) = { x x ⩾ 1 1 x < 1 f(x)=\begin{cases}x \qquad x\geqslant1\\1\qquad x<1\end{cases} f(x)={xx⩾11x<1，求 ∫ f ( x ) d x \displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x ∫f(x)dx
Mathematica可以对向量值函数积分
Mathematica提供如Bessel函数、Gamma函数 和Beta函数等二三十个数学物理特殊函数可以用来表示积分结果。
∫ e − x 2 d x \displaystyle\int e^{-x^2} \mathrm{d} x ∫e−x2dx
Mathematica算不出结果的积分对被积函数做些化简外仍按Integrate形式输出
定积分
Integrate[f[x], {x, a, b}],可以计算 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x ∫abf(x)dx 的准确解
NIntegrate[f[x], {x, a, b}],可以计算 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x ∫abf(x)dx 的数值解
多重积分
Integrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}],计算累次积分 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y ∫abdx∫cdf(x,y)dy的准确解.
NIntegrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}],计算累次积分 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y ∫abdx∫cdf(x,y)dy的数值解.
计算区域 D D D上的二重积分 , D D D由 y = x y = x y=x 以及 x x x轴, x = 1 x = 1 x=1 围成. ∬ D sin ( x + 2 y ) d x d y \displaystyle \iint_D\sin(x+2y) \mathrm{d} x\mathrm{d} y ∬Dsin(x+2y)dxdy
计算 ∭ V x y 2 z 3 d x d y d z , \displaystyle\iiint_Vxy^2z^3\mathrm{d} x\mathrm{d} y\mathrm{d} z, ∭Vxy2z3dxdydz,其中 V V V是由曲面 z = x y , z = 0 , y = x , x = 1 z = xy, z = 0, y = x, x = 1 z=xy,z=0,y=x,x=1围成。
计算两个圆柱体 x 2 + y 2 = 1 , x 2 + z 2 ⩽ 1 x^2+y^2=1,x^2+z^2\leqslant 1 x2+y2=1,x2+z2⩽1 相交部分的体积。
计算曲线积分 ∫ L x 2 + x cos x d s ， L \displaystyle\int _L x^2+x\cos x \mathrm{d} s，L ∫Lx2+xcosxds，L 是单位圆。
计算单位球面面积
级数
幂级数展开
Series[expr, {x, x0, n}] 将expr在x = x0点展开到n阶的幂级数
Series[expr, {x, x0, n}, {y, y0, m}]先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数
展开式中可能将分数指数，对数函数等作为基本元素。
Series命令可以计算无界函数在瑕点的洛朗展开式,展开式的最高次数可以是负数。
Series命令可以计算函数在无穷远点的洛朗展开式
幂级数计算
幂级数求和
无穷乘积
求幂级数 ∑ n = 0 ∞ x 4 n + 1 4 n + 1 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1} n=0∑∞4n+1x4n+1 的收敛域与和函数。
检查端点是否收敛
两个端点都是发散点。收敛域（-1,1）
给出幂级数中某一项的系数
SeriesCoefficient[f, n] 级数f中x^n的系数
SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}] 函数f在x0的展开式中 (x - x0)^n的系数
反函数级数
InverseSeries[s, {x, x0, n}] 给出级数s的反函数的幂级数展开式
幂级数复合
ComposeSeries[s1, s2] 表示用幂级数s2代换幂级数s1中的变量x
Fourier级数
对于以2L为周期的函数，要用 FourierParameters->{1,2Pi/L} 说明
正弦级数与余弦级数
FourierSinSeries[f[x], x, n] f[x]是以2π为周期的函数，在[-π,π]上是奇函数
FourierCosSeries[f[x], x, n] f[x]是以2π为周期的函数，在[-π,π]上是偶函数
若函数周期不是2π，同样用FourierParameters说明
微分方程
求解常微分方程
求解常微分方程和常微分方程组的一般形式：
DSolve[eqns, y[x], x] 解y(x)的微分方程或方程组 eqns，x为变量。
DSolve[eqns, y, x] 在纯函数的形式下求解
一般一个一阶线性微分方程都可以通过积分运算求解，但是如果方程的个数大于1，或阶数大于2，求解就没有固定的方法，一些简单的二阶线性方程的解被当做特殊函数来表示其它方程的解。
一些特殊类型的二阶线性微分方程可能有形式简单的解
三阶以上的方程只有极少的方程能够被解出
求解初值问题 ( 1 + x 2 ) y ′ ′ + 2 x y ′ − 6 x 2 − 2 = 0 , y ( − 1 ) = 0 , y ′ ( − 1 ) = 0 \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 x^{2}-2=0, y(-1)=0, y^{\prime}(-1)=0 (1+x2)y′′+2xy′−6x2−2=0,y(−1)=0,y′(−1)=0
纯函数形式的解可以代入微分的运算 DSolve[eqns,y,x]
求解偏微分方程
求解偏微分方程的命令是
DSolve[eqn, y, {x1, x2, ..}]
DSolve[eqns, {y1,y2,..}, {x1, x2, ..}]
求解偏微分方程 ∂ y ( x 1 , x 2 ) ∂ x 1 + ∂ y ( x 1 , x 2 ) ∂ x 2 = 1 x 1 x 2 \frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x} _1}+\frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x} _2}=\frac{1}{{x}_ 1x_2} ∂x1∂y(x1,x2)+∂x2∂y(x1,x2)=x1x21
求解调和方程 u x x + u y y = 0 u_{xx}+u_{yy}=0 uxx+uyy=0
参考资料
- 中国科学技术大学《符号计算语言Mathematica》
