数据结构

什么是数据结构

在计算机科学中，数据结构是⼀种数据组织、管理和存储的格式。它是相互之间存在⼀种或多种特定关系的数据元素的集合。
说点通俗易懂的话，数据结构就是数据的组织形式，研究的就是把数据按照何种形式存储在计算机中

为什么会有数据结构

• 随着计算机的发展和应⽤范围的拓展，计算机需要处理的数据量越来越⼤，数据类型越来越多，数据之间的关系也越来越复杂。
• 这就要求⼈们对计算机加⼯处理的数据进⾏系统的研究，即研究数据的特性、数据之间存在的关系，以及如何有效的组织、管理存储数据，从⽽提⾼计算机处理数据的效率。
• 数据结构这⻔学科就是在此背景上逐渐形成和发展起来的。
  对数据结构更深层次的理解：数据结构研究的是数据本⾝的特性、数据与数据之间的关系，以及如何在计算机中存储数据，从⽽⾼效的处理这些数据。

数据结构的三要素

逻辑结构

逻辑结构：数据中各元素之间的逻辑关系。
它只关⼼数据中各个元素之间的关系，并不关⼼数据是怎么在内存中存储的

常⻅的逻辑结构

1. 集合
   所有的数据只是在⼀个集合中，彼此之间再没有其他的联系
2. 线性结构
   数据之间只存在⼀对⼀的关系
3. 树形结构
   数据之间是⼀对多的关系
4. 图结构
   数据之间存在多对多的关系

存储结构

存储结构⼜称物理结构，但是存储⼆字更能体现本意，后续我们统称存储结构。
存储结构顾名思义，就是数据在计算机中是如何存储的。
⽤⼤⽩话就是，怎么把这个数据结构存到计算机中。
数据的存储结构主要有顺序存储以及链式存储。

1. 顺序存储
   把逻辑上相邻的元素存储在物理上也相邻的存储单元中。-数组
   在程序中典型处理⽅式即数组。即数据不仅在逻辑上是连续的，物理上也是连续的
2. 链式结构
   通过指针来存储前⼀个或下⼀个数据元素的地址，从⽽实现元素和元素之间的关系

数据的运算

数据的运算（针对数据的各种操作），包括数据结构的实现，以及基于数据结构上的各种操作

• 创建数据结构；
• 增加数据；
• 删除数据；
• 查找数据；
• 修改数据；
• 排序数据；
• 输出数据；

算法

什么是算法

算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。

• 算法是可以没有输⼊的，⼀定要有输出的。没有输出的算法是没有意义的。
  简单来说算法就是⼀系列的步骤，⽤来将输⼊数据转化成输出结果

算法好坏的度量

【事前分析法】
算法设计好后，根据算法的设计原理，只要问题规模确定，算法中基本语句执⾏次数和需求资源个数基本也就确定了

算法执⾏所需资源的个数与问题规模n有关。因此可以根据算法执⾏过程中对空间的消耗来衡量算法的好坏，这就是空间复杂度
算法中基本语句总的执⾏次数与问题规模n有关。因此可以根据算法执⾏过程中，所有语句被执⾏的次数之和来衡量算法的好坏，这就是时间复杂度。
综上所述，时间和空间的消耗情况就是我们度量⼀个算法好坏的标准，也就是时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式$T(N)$ ，它定量描述了该算法的运⾏时间。这个函数式$T(N)$计算了程序中语句的执⾏次数

计算⼀下fun中++count语句总共执⾏了多少次

void fun(int N)  
{  int count = 0;  for(int i = 0; i < N; i++)  {  for(int j = 0; j < N; j++)  {  ++count; // 执⾏次数是 n*n，也就是 n^2  }  }  for(int k = 0; k < 2 * N; k++)  {  ++count; // 执⾏次数是 2*n  }  int M = 10;  while(M--)  {  ++count; // 执⾏次数 10  }  
}

fun 函数 ++count 语句的总执⾏次数：
T (N) = N^2 + 2 × N + 10

• 当N = 10 时，T (N) = 100 + 20 + 10 = 130
• 当N = 100 时，T (N) = 10000 + 200 + 10 = 10210
• 当N = 1000 时，T (N) = 1000000 + 2000 + 10 = 1002010
• 当N = 10000 时，T (N) = 100000000 + 20000 + 10 = 100020010

⼤O表⽰法

在上述案例中，对N取值进⾏分析，随着N的增⼤，对结果影响最⼤的⼀项是N^2 ，2xN和10可以忽略不计，算法执⾏时间的增⻓率与$T(N)$中的N^2的增⻓率基本⼀致。
因此，在计算时间复杂度的时候，⼀般会把$T(N)$中对结果影响不⼤的项忽略掉，该种表⽰时间复杂度的⽅式称为⼤O渐进时间复杂度-粗略的估计⽅式，只看影响时间开销最⼤的⼀项。
所以对于上述fun函数，其时间复杂度为$O(T(N))=O(N^2+2N+10)$，取最⾼阶项最终为：$O(N^2)$

推导⼤O渐进时间复杂度的规则

1. 时间复杂度函数式T (N)中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项；
2. 如果最⾼阶项存在且不是1 ，则去除这个项⽬的常数系数；
3. T (N) 中如果没有N 相关的项⽬，只有常数项，⽤常数1 取代所有加法常数。

最优、平均和最差时间复杂度

在n 个整形元素数组中，检测x 是否存在，若存在返回其在数组中的下标，否则返回-1

int find (int a[], int n, int x)  
{  for (int i = 0; i < n; i++){  if (a[i] == x)  return i;  }  return -1;  
}

21	15	66	34	82	95	53	78	46	17
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

在查找过程中，需⽤x 与数组中元素依次⽐较，因此总的⽐较次数就是该算法的时间复杂度。则：

• 若待查找元素x 为21 ，只需要⽐较1 次，为算法的最优(好)情况。
• 若带查找元素x 为17 ，或者是不存在的元素，需要⽐较n 次，为算法的最坏(差)情况。
• 所有情况的⽐较次数之和，除以总情况，为算法的平均情况。
  查找第⼀个元素需⽐较1次，查找第2个元素需⽐较2次，…，查找第n个元素需⽐较n次，假设每个元素查找的概率相同，则平均⽐较次数为
  $$f(n)=\frac{1+2+3+\cdots +n}{n}=\frac{(1+n)\times n}{2n}=\frac{1+n}{n}$$
• 最好时间复杂度为O(1) ；
• 最坏时间复杂度为O(n) ；
• 平均时间复杂度为$O(\frac{1+n}{2})$ ，也就是$O(n)$
  但是，⽆论是在竞赛还是⼯程中，算法的时间复杂度⼀般为最差情况。因为最差情况是⼈对⼀件事情所能承受的底线，因此find 算法的时间复杂度为O(n) 。

时间复杂度计算案例

案例⼀

void func1(int N)  
{  int count = 0;  for(int k = 0; k < 2 * N; k++)  {  ++count;  }  int M = 10;  while (M--)  {  ++count;  }  printf("%d\n", count);  
}

基本语句 ++count 关于问题规模n总执⾏次数的数学表达式为：f(n) = n × 2 + 10 ；
保留最⾼阶项，省略最⾼阶项的系数后的⼤O渐进表⽰法为：O(n)

案例⼆

void func2(int N)  
{  int count = 0;  for (int k = 0; k < 1000; k++)  {  ++count;  }  printf("%d\n", count);  
}

基本语句 ++count 关于问题规模n总执⾏次数的数学表达式为：f(n) = 1000 ；
不论n如何变化， ++count 总的执⾏次数都是1000 ，故时间复杂度为：O(1)

案例三

void func3(int m, int n)  
{for (int i = 0; i < m; i++)  {  printf("hello\n");  }  for (int i = 0; i < n; i++)  {  printf("hello\n");  }  
}

基本语句 printf(“”) 总的执⾏次数为f(m, n) = m + n ；
m和n的变化都是影响基本语句执⾏次数，即m和n都是问题规模，故时间复杂度为$O(m,n)$ ，或者也可以表⽰为$O(max(m,n))$ 。

案例四

void func4(int m, int n)  
{  for (int i = 0; i < m; i++)  {  for(int j = 0; j < n; j++)  {  printf("%d, ", i);  }  printf("\n");  }  
}

基本语句 printf("%d, ", i) 总的执⾏次数为f(m, n) = m × n ；
m和n的变化都是影响基本语句执⾏次数，即m和n都是问题规模，故时间复杂度为$O(m\times n)$ 。

案例五

void func5(int n)  
{  int cnt = 1;  while (cnt < n)  {cnt *= 2;  }  
}

假设执⾏次数为x ，则$2^x=n$ ；因此执⾏次数：$x={\log }_{2}n$。
⼀般情况下不管底数是多少都可以省略不写，那么本案例的时间复杂度为$\log n$

案例六

// ⽤递归计算 N 的阶乘  
long long fac(int N)  
{  if(N == 0) return 1;  return fac(N - 1) * N;  
}

递归算法时间复杂度求解⽅式为，单次递归时间x总的递归次数。
注意，这⾥只是简易的估算⽅式。递归算法的时间复杂度严谨的计算⽅法是利⽤主定理(Master
Theorem)来求得递归算法的时间复杂度。
对于递归算法，仅需掌握这样简易的计算⽅式

单次递归没有循环之类，所以时间复杂度为常数。总的递归次数就是递归过程中，fac递归调⽤了多少次。
Fac(5) 需要递归6次，则Fac(n) 就需要递归n + 1次，故递归求阶乘的时间复杂度为O(n) 。

空间复杂度

有了时间复杂度的铺垫，空间复杂度的计算就⽐较容易了。
在算法竞赛中，空间复杂度就是整个程序在解决这个问题时，⼀共使⽤了多少空间。相⽐较于时间复杂度，空间复杂度就没那么受关注，因为多数情况下题⽬所给的内存限制是⾮常宽裕的。
但是，这并不表明可以肆⽆忌惮的使⽤空间，⼀旦超出给定的限制，程序也是不会通过的

冒泡排序

#include <iostream>  
using namespace std;  
const int N = 20;  
int arr[N];  
int main()  
{  int n = 0;  cin >> n;  int i = 0;  //输⼊  for(i=0; i < n; i++)  cin >> arr[i];  //排序  for(i = 0; i < n-1; i++)  {  int j = 0;  for(j = 0; j <= n-1-i; j++)  {  if(arr[j] < arr[j+1])  {  int tmp = arr[j];  arr[j] = arr[j+1];  arr[j+1] = tmp;  }  }  }  //输出  for(i=0; i < n; i++)  {  cout << arr[i] << endl;  }  return 0;  
}

空间复杂度：需要⼀个和问题规模⼀致的数组来存数据。因此空间复杂度为O(N)

递归求阶乘

递归算法空间复杂度求解⽅式，单次递归空间复杂度*递归次数。

// 计算递归求阶乘Fac算法的空间复杂度？  
long long fac(int N)  
{  if (N == 0) return 1;  return fac(N - 1) * N;  
}

递归的调⽤会有空间消耗

常⻅复杂度的增⻓对⽐

各种常⻅的时间复杂度的⼤⼩对⽐：
$$O(1)<O(logN)<O(N)<O(NlogN)<O(N^2)<O(N^3)<O(2^N)<O(n!)$$

算法竞赛中的时间限制和空间限制

1. 信息学竞赛中，C++通常设定1到2秒的时间限制，要控制运⾏次数在107⾄108 之间。
2. 空间限制在128MB或256MB ，可以开⼀个$3\times 10^7$⼤⼩的int类型数组，或者5000x5000⼤⼩的⼆维数组，⼀般情况下都是够⽤的

各种数据量下，可选⽤的算法的时间复杂度

	$O(\log n)$	$O(\sqrt{n})$	$O(n)$	$O(n\ast \log n)$	$O(n^2)$	$O(n^3)$	$O(2^n)$	$O(n!)$
$n\le 10$	√	√	√	√	√	√	√	√
$n\le 25$	√	√	√	√	√	√	√	×
$n\le 100$	√	√	√	√	√	√	×	×
$n\le 10^3$	√	√	√	√	√	×	×	×
$n\le 2\ast 10^5$	√	√	√	√	×	×	×	×
$n\le 10^7$	√	√	√	×	×	×	×	×
$n\le 10^9$	√	√	×	×	×	×	×	×
$n\le 10^{18}$	√	×	×	×	×	×	×	×

STL

C++标准库

C++标准是C++编程语⾔的规范，由国际标准化组织（ISO）制定。C++标准的发展历程可以追溯到1998年，当时ISO/IEC14882:1998标准被发布，这是第⼀个C++标准，常被称为C++98。随后，C++标准经历了多次更新和修订，包括C++03（2003年）、C++11（2011年）、C++14（2014年）、C++17（2017年）以及C++20。
最新的C++标准是C++23，于2023年发布，引⼊了许多新特性，但⽬前⽀持完整的编译器较少。
每⼀个版本的C++标准不仅规定了C++的语法、语⾔特性，还规定了⼀套C++内置库的实现规范，这个库便是C++标准库。C++标准库中包含⼤量常⽤代码的实现，如输⼊输出、基本数据结构、内存管理、多线程⽀持等。
我们可以这样简单的理解，C++给我们提供了⼀⼤堆的代码，这些代码⾥⾯包含特别多已经实现好的数据结构和算法。因此，在做题的时候，如果涉及的数据结构和算法C++标准库已经帮我们实现好了，那么就可以直接使⽤，避免重复造轮⼦。
造轮⼦指的是重复发明已有的算法，或者重复编写现成优化过的代码。
造轮⼦通常耗时耗⼒，同时效果还没有别⼈好。但若是为了学习或者练习，造轮⼦则是必要的。 因此，学好C++标准库能极⼤的提⾼编程效率

什么是STL

STL即标准模板库（Standard Template Library），是C++标准库的⼀部分，⾥⾯包含了⼀些模板化的通⽤的数据结构和算法。由于其模板化的特点，它能够兼容⾃定义的数据类型，避免⼤量的造轮⼦⼯作。
NOI和ICPC赛事都⽀持STL库的使⽤，当然，蓝桥杯也是⽀持的。因此，⼀定要学习STL的使⽤，能够极⼤的提⾼编写代码的效率