题目描述

https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-interview-150
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

解题思路

1. 这种找路径，找方法的题一般可以使用回溯法来解决，回溯法也可以说是树形图法，解题的时候使用类似于树状图的结构，使用 自顶而下 的方法。

2. 而在回溯法中，如果含有很多的重复的计算的时候，就可以使用记忆化的搜索，将可能出现的重复计算大状态使用一个数组来保存其值，在进行重复的计算的时候，就可以直接的调用数组中的值，较少了不必要的递归。

3. 使用了记忆化搜索后，一般还可以进行优化，在记忆化搜索的基础上，变成 自底而上 的动态规划。

递归

使用递归就是关键是知道递归函数是用来干什么的，但这里使用递归会超时，因为有太多的重复计算。

class Solution {int res = Integer.MAX_VALUE;public int coinChange(int[] coins, int amount) {if(coins.length == 0){return -1;}findWay(coins,amount,0);// 如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。if(res == Integer.MAX_VALUE){return -1;}return res;}public void findWay(int[] coins,int amount,int count){if(amount < 0){return;}if(amount == 0){res = Math.min(res,count);}for(int i = 0;i < coins.length;i++){findWay(coins,amount-coins[i],count+1);}}
}

记忆化搜索

记忆化搜索其实就是在递归的时候，把每个状态保存起来，这样我们递归过程中使用到的重复的结果的时候，不需要在去重新计算，直接从数组中取值，就可以加快速度了。

从图中可以看出，里面有很多的重复节点，我们使用memo[]来保存节点，memo[n]表示钱币n可以被换取的最少的硬币数，不能换取的话赋值-1。
findway函数的目的是为了找到amount数量的零钱可以兑换的最少硬币数量，返回其值int。
在进行递归的时候，mome[n]被复制了，就不用在继续递归了，可以直接的调用。

class Solution {int[] memo;public int coinChange(int[] coins, int amount) {if(coins.length == 0){return -1;}memo = new int[amount];return findWay(coins, amount);}// memo[n] 表示钱币n可以被换取的最少的硬币数，不能换取就为-1// findWay函数的目的是为了找到 amount数量的零钱可以兑换的最少硬币数量，返回其值intpublic int findWay(int[] coins, int amount){if(amount < 0){return -1;}if(amount == 0){return 0;}// 记忆化的处理，memo[n]用赋予了值，就不用继续下面的循环// 直接的返回memo[n] 的最优值if(memo[amount - 1] != 0){return memo[amount - 1];}int min = Integer.MAX_VALUE;for(int i=0; i < coins.length; i++){int res = findWay(coins, amount - coins[i]);if(res >= 0 && res < min){min = res + 1;// 加1，是为了加上得到res结果的那个步骤中，兑换的一个硬币}}memo[amount - 1] = (min == Integer.MAX_VALUE? -1 : min);return memo[amount - 1];}
}

动态规划

记忆化搜索是在递归的基础上，进行优化。先从memo[amount - 1]开始，从上到下。
动态规划是从memo[0]开始，从下到上。

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {// 自底向上的动态规划if(coins.length == 0){return -1;}// memo[n]的值： 表示的凑成总金额为n所需的最少的硬币个数int[] memo = new int[amount + 1];memo[0] = 0;for(int i=1; i<= amount; i++){int min = Integer.MAX_VALUE;for(int j=0; j<coins.length; j++){if(i - coins[j] >= 0 && memo[i-coins[j]] < min){min = memo[i - coins[j]] + 1;}}memo[i] = min;}return memo[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : memo[amount];}
}

另一种实现

memo[i]有两种实现方式，取两者的最小值

1. 包含当前的coins[i], 那么剩余钱就是i - coins[i], 这种操作要兑换的硬币数是memo[i -coins[j]] + 1
2. 不包含当前的coins[i],那么要兑换的硬币数就是memo[i]

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {// 自底向上的动态规划if(coins.length == 0){return -1;}// memo[n]的值： 表示的凑成总金额为n所需的最少的硬币个数int[] memo = new int[amount + 1];// 给memo赋初值，最多的硬币数就是全部使用面值1的硬币进行换// amount + 1 是不可能达到的换取数量，于是使用其进行填充Arrays.fill(memo, amount + 1);memo[0] = 0;for(int i=1; i<=amount; i++){for(int j=0; j<coins.length;j++){if(i - coins[j] >= 0){// memo[i]有两种实现的方式，// 一种是包含当前的coins[i],那么剩余钱就是 i-coins[i],这种操作要兑换的硬币数是 memo[i-coins[j]] + 1// 另一种就是不包含，要兑换的硬币数是memo[i]memo[i] = Math.min(memo[i], memo[i-coins[j]] + 1);}}}return memo[amount] == (amount + 1)? -1 : memo[amount];}
}

题解参考：
作者：sugar
链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change/solutions/137661/javadi-gui-ji-yi-hua-sou-suo-dong-tai-gui-hua-by-s/
来源：力扣（LeetCode）
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