LaTeX 学习 第2节 数学结构

----用教授的方式学习

目录

2.1 上标与下标

2.2 上下画线与花括号

2.3 分式

2.4 根式

2.5 矩阵

​​​​​​​LaTex安装包:https://download.csdn.net/download/weixin_38135241/89416392

LaTex- windows安装包:https://download.csdn.net/download/weixin_38135241/89429839

LaTeX-Linux安装包​​​​​​​:https://download.csdn.net/download/weixin_38135241/89429832

LaTex—os安装包:https://download.csdn.net/download/weixin_38135241/89429844

数学公式不是简单的符号连接堆砌,而是特定数学结构的组合。

2.1 上标与下标

在TeX中,上标用特殊字符^表示,下标用特殊字符_表示。在数学模式中,符号^和_的用法差不多相当于带一个参数的命令,如$10^n$可以得到$10^n$,而$a_i$可以得到$a_i$。当上标和下标多于一个字符时,需要使用分组确定上下标范围,如:

$A_{ij}=2^{i+j}$$A_{ij}=2^{i+j}$

上标和下标可以同时使用,也可以嵌套使用。同时使用上标和下标,上下标的先后次序并不重要,二者互不影响。嵌套使用上下标时,则外层一定要使用分组。例如

$A_i^k=B^k_i$\qquad

$K_{n_i}=K_{2^i}=2^{n_i}=2^{2^i}$\qquad

$3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}$

$A_i^k=B^k_i$    $K_{n_i}=K_{2^i}=2^{n_i}=2^{2^i}$

$3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}$

这里数学公式中的空格(包括单个换行)是不起作用的,适当的空格可以将代码分隔得好看一些。

数学公式中是撇号‘就是一种特殊的上标,表示用符号\prime(即‘)作上标。撇号可以与下标混用,也可以连续使用(普通的上标不能连续使用),但不能与上标直接混用,如:

$a=a'$,

$b_0'=b_0''$,

${c'}^2=(c')^2$

$a=a'$  

$b_0'=b_0''$

${c'}^2=(c')^2$

类似地,LaTex默认的字体没有直接表示角度的符号,可以用符号\circ(即◦)的上标表示,如:

$A=90^\circ$$A=90^\circ$

或定义为一个意义明显的命令:

\newcommand\degree{^\circ}

在现实公式中,多数数学算子的上下标,位置是在正上或正下方,如:

$\max_n f(n)=\sum_0^n A_i$

$\max_n f(n)=\sum_0^n A_i$

但对积分号等个别算子,显示公式中的上下标也在右上右下角:

$\int_{0}^{1} f(t) dt=\iint_{D}^{}g(x,y)dxdi$

$\int_{0}^{1} f(t) dt=\iint_{D}^{}g(x,y)dxdi$

不过,在行内公式中,为了避免过于拥挤或产生难看的行距,所有算子的上下标也都在角标的位置了,如$\max_n f(n)=\sum_0^n A_i$将得到$\max_n f(n)=\sum_0^n A_i$

在上下标前面用\limits命令会使上下标在正上正下方,这正是通常上下限的排版方式。而使用\nolimits则使上下标在角上,例如:

$\iiint\limits_D\mathrm{d}f=\max\nolimits_D g$

$\iiint\limits_D\mathrm{d}f=\max\nolimits_D g$
$\sum\limits_{i=0}^n A_i$不如用$\sum_{i=0}^{n}A_i$更适合文本段落$\sum\limits_{i=0}^n A_i$不如用\sum_{i=0}^{n}A_i

有时候要在符号的左上、左下角加角标,此时可以在要加角标字符前面使用空的分组,给空分组加角标,如${}_m^n H$将得到${}_m^n H$。不过这种不标准的方法得到的效果往往不尽人意,间距和对其都不合理,手工调整也比较麻烦,此时可以用mathtools宏包的\prescript(上标)(下标)(元素)来处理,例如:

%\usepackage{mathtools}$_{n}^{m}\textrm{H}_i^j <L$$_{n}^{m}\textrm{H}_i^j <L$

给符号左边加角标并不常见,很多时候只是需要给个别算子标记,而且还不应影响算子的上下限,此时可以amsmath提供的\sideset命令,例如:

$\sideset{_a^b}{_c^d} \sum\limits_{i=0}^{n} A_i=\sideset{}{'} \prod \limits_k f_i$$\sideset{_a^b}{_c^d} \sum\limits_{i=0}^{n} A_i=\sideset{}{'} \prod \limits_k f_i$

但注意\sideset命令仅用于排版\sum\prod等巨算符的角标,不应用在其他地方。

amsmath还提供了\overset和\underset命令,用来给任意符号的上下方添加标记,这种命令有点像加了\limits的巨算符上下标:

$\overset{*}{X}$

$\underset{*}{X}$

$\overset{*}{\underset{\dag}{X}}$

$\overset{*}{X}$

$\underset{*}{X}$

$\overset{*}{\underset{\dag}{X}}$

TeX中的上下标是互补影响的,因此$A_m^n$得到$A_m^n$而不是$A_m{}^n$。可能如果真的需要排版$A_m{}^n$的话,也有办法,简单地处理就是把上下标加在空的分组上,不过对大小不一的符号可能位置不够精确,此时可以使用2.1.1.3节提到的“幻影”(phantom)来处理:

$A_m{}^n$或 A_m^{\phantom{m}n}$$A_m{}^n$$A_m^{\phantom{m}n}$

这类形式特殊的上下标在数学中也确有其用武之地,张量代数中这种记法可以大大简化求和式的书写。tensor宏包就专门用来排版这种张量,它主要提供\indices和\tensor两个命令,\indices用于产生连续的复杂上下标,而\tensor则产生带有下标的张量,例如:

%导言区 \usepackage{tensor}

$M\indices{^a_b^{cd}_e}$

$\tensor[^a_b^c_d]{M}{^a_b^c_d}$

M{^a_b}^{cd}_e 

${^a_b}^c_d{M}{^a_b}^c_d$

也许还像用上下标表示化学公式。

%导言区\usepackage{mhchem}醋酸中主要是\ce{H2O},含有\ce{CH3COO-}。

\ce{^{227}_{90}Th} 元素具有强放射性。

\begin{equation}

\ce{2H2+O2->[\text(燃烧)]2H2O}

\end{equation}

2.2 上下画线与花括号

\overline和\underline命令可用来在公式的上方和下方划横线,例如:

$\overline{a+b}=\overline a+ \overline b$

$\underline a=(a_0,a_1,a_2,\dots)$

$\overline{a+b}=\overline a+ \overline b$

$\underline a=(a_0,a_1,a_2,\dots)$

而且这种结构可以任意嵌套或与其他数学结构组合:

$\overline{\underline{\underline a}+\overline{b}^2}-c^{\underline n}$$\overline{\underline{\underline a}+\overline{b}^2}-c^{\underline n}$

amsmath 提供了在公式上下加箭头的命令,使用方法与\overline 和\underline类似:

$\overleftarrow{a+b}$

$\overrightarrow{a+b}$

$\overleftrightarrow{a+b}$

$\underleftarrow{a-b}$

$\underrightarrow{a-b}$

$\underleftrightarrow(a-b)$

$\overleftarrow{a+b}$

$\overrightarrow{a+b}$

$\overleftrightarrow{a+b}$

$\underleftarrow{a-b}$

$\underrightarrow{a-b}$

$\underleftrightarrow(a-b)$

$\vex x=\overrightarrow{AB}$$ \overrightarrow x= \overrightarrow{AB}$
$\overbrace{a+b+c}=\underbrace{1+2+3}$$\overbrace{a+b+c}=\underbrace{1+2+3}$
$(\overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共$n+1$项}})=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n},1)$(\overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{n+1})=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n},1)
$\underbracket{\overbracket{1+2}+3}_3$

2.3 分式

$\frac 12+\frac la=\frac{2+a}{2a}$$\frac 12+\frac la=\frac{2+a}{2a}$
通分计算 $\frac 12+\frac la$ 得$\frac{2+a}{2a}$通分计算$\frac 12+\frac la$$\frac{2+a}{2a}$
$\frac{1}{\frac 12(a+b)}=\frac{2}{a+b}$\frac{1}{\frac 12(a+b)}=\frac{2}{a+b}
\tfrac 12 f(x)=\frac{1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c }\tfrac 12 f(x)=\frac{1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c }
$\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{%1+\cfrac{3}{1+x}}}=\cfrac[r]{1}{1+\cfrac{2}{%1+\cfrac[1]{3}{1+x}}}$
区别$\sfrac 1a+b$ 和$1/(a+b)$
$(a+b)^2=\binom 20 a^2+\binom 21 ab+\binom 22 b^2$(a+b)^2=\binom 20 a^2+\binom 21 ab+\binom 22 b^2
$\genfrac{[}{]}{Opt}{}{n}{1}={n-1}!,\qquad n>0$

2.4 根式

$\sqrt 4=\sqrt[3]{8}=2$$\sqrt 4=\sqrt[3]{8}=2$
$\sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}}$\sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}}
$(x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}}$(x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}}
$\sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}}$\sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}}
$\sqrt{\frac 12}<\sqrt{\vphantom{\frac12}2}$\sqrt{\frac 12}<\sqrt{\vphantom{\frac12}2}
$\sqrt b\sqrt y$\qquad $\sqrt{\mathstrut b}\sqrt{mathstrut y}$

$\sqrt b\sqrt y$   

$\sqrt{\mathstrut b}\sqrt{\mathstrut y}$

2.5 矩阵

$A=\beign{pmatrix}

a_{11}&a_{12}&a_{13}\\

0&a_{22}&a_{23}\\

0&0&a_{33} \end{pmatrix} $

A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &a_{13} \\ 0&a_{22} &a_{23} \\ 0& 0&a_{33} \end{pmatrix}
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & \dots &a_{1n} \\ & \ddots&\vdots \\ 0 & & a_{nn} \end{bmatrix}$A=\begin{bmatrix} a_{11} & \dots &a_{1n} \\ & \ddots&\vdots \\ 0 & & a_{nn} \end{bmatrix}
$\begin{pmatrix} 1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n\\ ...&...&...&...\\ m&\frac m2 &... &\frac mn \end{pmatrix}$\begin{pmatrix} 1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n\\ ...&...&...&...\\ m&\frac m2 &... &\frac mn \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{matrix}
1 &0 \\ 
 0&1
\end{matrix} &0 \\ 
0 & \begin{matrix}
1 &0 \\ 
 0& -1
\end{matrix}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{matrix} &0 \\ 0 & \begin{matrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{matrix} \end{pmatrix}
复数 $z=(x,y)$也可用矩阵$\begin{pmatrix} x &-y \\ y&x \end{pmatrix}$表示复数z=(x,y)也可用矩阵\begin{pmatrix} x &-y \\ y&x \end{pmatrix}来表示
$\sum\limits_{\substack{0<i<n\\0<j<i}} A_{i j}$\sum\limits_{\substack{0<i<n\\0<j<i}} A_{i j}
$\sum\limits_{\begin{subarray}{1}I<10\\j<100\\k<1000\end{subarray}} X(i,j,k)$$\sum\limits_{\begin{subarray}{1}I<10\\j<100\\k<1000\end{subarray}} X(i,j,k)$
$\begin{pmatrix} 10&-10 \\ -20&3 \end{pmatrix}$\begin{pmatrix} 10&-10 \\ -20&3 \end{pmatrix}
$\bordermatrix{
  &1&2&3&\cr
1&A&B&C&\cr
2&D&E&F\cr
}$
\bordermatrix{ &1&2&3&\cr 1&A&B&C&\cr 2&D&E&F\cr }

---end

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/353930.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

web爬虫笔记:js逆向案例九(某多多 anti_content参数)补环境流程

web爬虫笔记:js逆向案例九(某多多 anti_content参数)补环境流程 一、目标网站:aHR0cHM6Ly9tb2JpbGUueWFuZ2tlZHVvLmNvbS8= 二、接口分析 1、快速定位加密位置(通过搜索/cells/hub/v3快速定位到加密js文件) 2、通过分析可知&#

springBoot多数据源使用、配置

又参加了一个新的项目&#xff0c;虽然是去年做的项目&#xff0c;拿来复用改造&#xff0c;但是也学到了很多。这个项目会用到其他项目的数据&#xff0c;如果调用他们的接口取数据&#xff0c;我还是觉得太麻烦了。打算直接配置多数据源。 然后去另一个数据库系统中取出数据…

王思聪隐形女儿曝光

王思聪"隐形"女儿曝光&#xff01;黄一鸣独自面对怀孕风波&#xff0c;坚持生下爱情结晶近日&#xff0c;娱乐圈掀起了一场惊天波澜&#xff01;前王思聪绯闻女友黄一鸣在接受专访时&#xff0c;大胆揭露了她与王思聪之间的爱恨纠葛&#xff0c;并首度公开承认&#…

kubernetes 核心概念

1 kubernetes核心概念 1.1 Pod Pod是可以在Kubernetes中创建和管理的、最小的可部署的计算单元。 Pod就像豌豆荚一样&#xff0c;其中包含着一组&#xff08;一个或多个&#xff09;容器&#xff1b;这些容器共享存储、网络、以及怎样运行这些容器的声明。 Pod就像一台物理…

Suno AI如何解决制作多语言混合的歌曲~

导读 你想不想制作一首有中文和粤语混合的歌曲&#xff1f; 你想不想制作一首有中文和日语混合的歌曲&#xff1f; 你想不想制作一首有中文和英语混合的歌曲&#xff1f; 如果你想不知道怎么操作&#xff0c;可以阅读下本文。 说明 本文让AI唱一首中文和日语混合的歌曲&am…

Linux笔记--vi编辑器

vi编辑器 基本操作 对于vi编辑器有这几种模式 移动 当编辑一个过大的文件时通过方向键移动光标过慢所以可以使用快捷键进行移动 编辑 dw指令只能在单词第一个字母处使用 D指令删除的是当前行 查找替换 pattern指代想要搜索的内容

Chrome插件开发入门:手把手教你创建第一个扩展

问题背景 最近&#xff0c;客户发布了一个新的任务 —— 开发一个Chrome插件。之前没有这方面的开发经验&#xff0c;准备想学习一下这块的内容&#xff0c;我发现网上的大多数视频都是几年前的&#xff0c;开发版本都是基于MV2&#xff0c;当前谷歌已经开始使用MV3&#xff0…

Elasticsearch如何聚合查询多个统计值,如何嵌套聚合?并相互引用,统计索引中某一个字段的空值率?语法是怎么样的

文章目录 Elasticsearch聚合查询说明空值率查询DSL Elasticsearch聚合基础知识扩展Elasticsearch聚合概念Script 用法Elasticsearch聚合查询语法指标聚合&#xff08;Metric Aggregations&#xff09;桶聚合&#xff08;Bucket Aggregations&#xff09;矩阵聚合&#xff08;Ma…

代码随想录第28天|回溯算法

491. 非递减子序列 思路: 不可以排序, 否则会改变元素的顺序对收获的结果有要求, num.size() > 2, 且 num[i - 1] < num[i]需要进行去重, 不能使用排序后的方法去重每一层可用 unordered_set 去重组合问题, for 遍历需要标记起始位置 bug: 一定要先判断元素是否重复, …

RabbitMQ实践——在Ubuntu上安装并启用管理后台

大纲 环境安装启动管理后台 RabbitMQ是一款功能强大、灵活可靠的消息代理软件&#xff0c;为分布式系统中的通信问题提供了优秀的解决方案。无论是在大规模数据处理、实时分析还是微服务架构中&#xff0c;RabbitMQ都能发挥出色的性能&#xff0c;帮助开发者构建高效、稳定的系…

Microsoft AI Day:支持开放合作,普及技术应用,推进行业企业智慧化创新

微软在北京举办以“共创AI创新&#xff0c;智启无限可能”为主题的Microsoft AI Day活动&#xff0c;集中展示了在生成式智能技术加速发展普及的过程中&#xff0c;微软取得的最新技术突破与进展&#xff0c;并同步更新了在Microsoft Build 2024全球开发者大会上发布的一系列Az…

基于Java的高校校园点餐系统

开头语&#xff1a; 你好&#xff0c;我是计算机专业的学长&#xff0c;如果你对高校校园点餐系统感兴趣或有相关开发需求&#xff0c;欢迎联系我。 开发语言&#xff1a;Java 数据库&#xff1a;MySQL 技术&#xff1a;JSP技术 工具&#xff1a;Eclipse、Tomcat 系统展示…

安享智慧理财金融测试项目

1. 项目介绍 安享智慧理财金融系统是基于 Java 语言开发&#xff0c;集 PC 端、APP 端、WAP 端为一体的 P2P&#xff08;个人对个人&#xff09;的借贷系统&#xff0c;提供了完整的借款和投资功能。 web用户端 说明&#xff1a;PC 网站&#xff0c;供借款人和投资人使用功能…

PySide(PyQt)的特殊按钮(互锁、自锁、独占模式)

界面图: Qt Designer中创建窗口,放置一个QGroupBox,命名为btnStation,这就是自定义的按钮站,按钮站里放置6个按钮。自锁按钮相当于电器中的自锁功能的按钮,每按一次状态反转并保持不变。独占按钮也是自锁功能的按钮,不同的是当独占按钮为ON时,其余所有按钮均被置为OFF…

大模型“诸神之战”,落地才是赛点

ChatGPT 诞生已经快一年&#xff0c;你还在与它对话吗&#xff1f; 有的人用来写报告、改代码&#xff0c;让它成为得力帮手&#xff1b;有的人却只是“调戏”个两三回&#xff0c;让它创作诗歌或故事&#xff0c;便不再“宠幸”。 根据网站分析工具 SimilarWeb 的数据&#…

基于VSCode和MinGW-w64搭建LVGL模拟开发环境

目录 概述 1 运行环境 1.1 版本信息 1.2 软件安装 1.2.1 下载安装VS Code 1.2.1.1 下载软件 1.2.1.1 安装软件 1.2.2 下载安装MinGW-w64 1.2.2.1 下载软件 1.2.2.2 安装软件 1.2.3 下载安装SDL 1.2.3.1 下载软件 ​1.2.3.2 安装软件 1.2.4 下载安装CMake 1.2.4.…

c#音乐播放器续(联网下载)

音乐播放器 0.前言1.关于本地音乐播放2.使用iTunes Search API进行联网下载歌曲2.1 控件2.2 函数实现2.2.1 控件2&#xff1a;搜索歌曲2.2.2 控件3&#xff1a;下载歌曲 2.3 主界面 3.拓展 0.前言 书接上文&#xff0c;我们已经实现了一个能够播放本地音乐的音乐播放器&#x…

计算机专业毕设-在线商城系统

1 项目介绍 在线商城系统&#xff0c;后端java语言&#xff0c;springboot&#xff0c;SSM框架。前端thymeleaf&#xff0c;前后端不分离。本项目已经隐去作者信息&#xff0c;所有代码文件均没有创建人和创建时间&#xff0c;可以放心使用。 系统用户分为两类&#xff0c;管理…

Spring-JdbcTemplate

了解知道即可 JdbcTemplate环境配置 先加入依赖&#xff1a; 在pom.xml中要引入spring和mysql的依赖&#xff1a; <!--仓库和依赖--><repositories><repository><id>spring-milestones</id><name>Spring Milestones</name><ur…

逻辑蕴含、函数依赖集的闭包、Armstrong公理、属性集闭包

一、引言 Armstrong公理-从给定的函数依赖集得到关系模式的完整依赖集 二、逻辑蕴含 1、定义 设F是关系模式R上的函数依赖集&#xff0c;X、Y是R的属性子集&#xff0c;对于R的每个满足F的关系实例r&#xff0c;若函数 依赖都成立&#xff0c;则称F逻辑蕴含。 记为&#…