一、引言
Armstrong公理-从给定的函数依赖集得到关系模式的完整依赖集
二、逻辑蕴含
1、定义
设F是关系模式R上的函数依赖集，X、Y是R的属性子集，对于R的每个满足F的关系实例r，若函数
依赖都成立，则称F逻辑蕴含
。
记为：
F逻辑蕴含的所有函数依赖的集合，称为函数依赖集F的闭包，并记为。
记为：{
}
三、Armstrong公理
1、定义
1974年Armstrong提出一套推理规则，被称为Armstrong公理
2、作用
利用推理规则从给定的函数依赖中推导出其蕴含的函数依赖
3、内容
包含三条基本规则和三条扩充规则
4、实例
关系模式R（U，F）:
（1）U为R的属性集
（2）F是U上的函数依赖集
（3）X、Y、Z、W是U的子集
（4）子集X、Y的并集记为XY
四、Armstrong公理的内容
1、三条基本推理规则
（1）自反律
若，则
（2）增广律
若为F所蕴含，则
（3）传递律
若、
为F所蕴含，则
2、三条扩充推理规则
（1）合并规则
若、
，则
（增广律，传递律）
（2）伪传递规则
若、
，则
（增广律、传递律）
（3）分解规则
若、
，则
（自反律、传递律）
3、合并规则和分解规则可得一个重要的事实
引理1：
成立的充分必要条件是
成立（i=1,2，...，k）
五、属性集闭包
1、引言
对于一个函数依赖集，其闭包中所包含的函数依赖有很多，从函数依赖集F求其闭包是很困难的，
对于任意的函数依赖，通过判断是否在闭包中来判断该函数依赖是否为函数依赖集F所逻辑蕴含是
很困难的，于是引入了属性集闭包的概念
2、属性集闭包的定义
在R(U,F)中，F是属性集U上的一组函数依赖，，则属性集X关于函数依赖集F的闭包
定义为：
是
中所有函数依赖于属性集X的所有属性的集合
3、引理2：
由引理2，就可以将是否属于F的闭包的问题转化为判断Y是否为X关于F的闭包的子集的问题，而X关于F的闭包可由算法帮助实现
六、使用算法求解属性集闭包
1、明确概念
（1）函数依赖集F的闭包是F所蕴含的函数依赖的集合
（2）属性集X关于函数依赖集F的闭包是F的闭包中的函数依赖的决定因素是属性集X的属性的集合，以下简称为属性集闭包
2、求（X的属性集闭包）的一个算法
输入：属性集X和和函数依赖集F
输出：属性集X关于函数依赖集F的闭包
算法实现流程：
（1）开始
（2）给赋初值X
（3）判断的值与上一次相比是否改变，如果改变，执行（4），没改变，执行（5）
（4）对F中的每一个函数依赖，如果
，则将Z并入到
中，执行（3）
（5）输出，结束
3、举例：使用算法计算属性集X的闭包
七、举例：通过属性集闭包来判断函数依赖是否在函数依赖集F的闭包中
八、小结
1、Armstrong公理的有效性
从F中已有的函数依赖利用Armstrong公理导出的每一个函数依赖
2、Armstrong公理的完备性
函数依赖集F所蕴含的函数依赖，即中的每一个函数依赖都可以利用Armstrong公理推导出来
