一、 函数、极限与连续

（一）函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定

1. 单调性

2. 奇偶性

常见的奇函数：$sinx，tanx，arcsinx，arctanx，ln\frac{1-x}{1+x}，ln(x+\sqrt{1+x^2})，\frac{e^x-1}{e^x+1}，f(x)-f(-x)$

常见的偶函数：$x^2，|x|,cosx，f(x)+f(-x)$

3. 周期性

！ $若f(x)以T为周期，则f(ax+b)以\frac{T}{|a|}为周期$

4. 有界性

$|sinx|\le 1，|cosx|\le 1，|arcsinx|\le \frac{\pi }{2}，|arccosx|\le \pi$

补充：常见函数
1） $y=\arctan x$

2） $y=\arcsin x$

3） $y=\arccos x$

4） 符号函数：
y = sgnx=$$\{\begin{array}{l}-1，x<0\\ 0，x=0\\ 1，x>0\end{array}$$
5) 取整函数：$y=[x]$
$x-1<[x]\le x$

（二） 复合函数

只有外函数的定义域与内函数的值域的交不为空时，则可进行复合。

（三） 极限的概念与性质

1. 极限的概念

1） 数列极限

$\forall ϵ>0，\exists N>0，当n>N时，恒有|x_n-a|<ϵ，则称\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

！$b<a，\exists N，当n>N时，x_n>b$
！ $c>a，\exists N，当n>N时，x_n<c$
！ 数 列 极 限 { x } 的 极 限 与 前 有 限 项 无 关 数列极限\{x\}的极限与前有限项无关 数列极限{x}的极限与前有限项无关
！ $整体极限\exists \Rightarrow 部分极限\exists$
！ $全部部分极限\exists \Rightarrow 整体极限\exists$

2） 函数极限

（1） 自变量趋于无穷大时：

${\lim }_{x\to +\infty }$

$\forall ϵ>0，\exists X>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ϵ，则称\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a$

${\lim }_{x\to -\infty }$

$\forall ϵ>0，\exists X>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ϵ，则称\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=a$

${\lim }_{x\to \infty }$

$\forall ϵ>0，\exists X>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ϵ，则称\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a$

（2）自变量趋于有限值：

$\forall ϵ>0，\exists \delta >0，当0<|x-x_0|>\delta 时，恒有|f(x)-A|<ϵ，则称\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$

! $x\to x_o,但x\ne x_o【即\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)与f(x)是否存在无关】$

2. 极限的性质

1） 一般性质

（1） 有界性

收敛$\to$有界，反之不然

（2） 保号性

（3）与无穷小的关系

$\lim f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha (x)，【其中\lim \alpha (x)=0】$

2） 存在准则

（1） 夹逼准则

（2） 单调有界准则

3. 极限运算法则

（1） 有理运算法则

若 $limf(x)=A，limg(x)=B$，那么

• $lim(f(x)\pm g(x))=limf(x)\pm g(x)$
• $lim(f(x)\times g(x))=f(x)\times g(x)$
• $lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}，(B\ne 0)$

（2） 注意

• 存在 $\pm$ 不存在 $=$ 不存在
• 不存在 $\pm$ 不存在 $=$ 不一定
• 存在 $\times ÷$ 不存在 $=$ 不一定
• 不存在 $\times ÷$ 不存在 $=$ 不一定

（3） 常见结论

• $limf(x)=A\ne 0\to limf(x)g(x)=Alimg(x)$
  即：极限非零的因子的极限可先求出来

• $lim\frac{f(x)}{g(x)}$存在，$limg(x)=0\to limf(x)=0$

• $lim\frac{f(x)}{g(x)}=A$，$limf(x)=0\to limg(x)=0$

4. 无穷小

1） 无穷小量阶：高阶、k阶、同阶、等价
2） 无穷小性质

• 有限个无穷小的和/积仍是无穷小
• 无穷小与有界量的积仍是无穷小

5. 无穷大

1） 常见无穷大的比较：

当x$\to +\infty$时， $l{n}^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x$

当n$\to \infty$时，$l{n}^{\alpha }n\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n$

2） 无穷大的性质：

• 两个无穷大的积仍为无穷大
• 无穷大与有界变量之和仍为无穷大量

3） 无穷大与无界变量的关系：

• 无穷大量$\to$无界变量，反之则不然【$(-1{)}^n$】

4） 无穷大与无穷小的关系：

• $f(x)$是无穷小，且$f(x)\ne 0$，则$\frac{1}{f(x)}$为$\infty$
  ! 如果$f(x)\ne 0$，则$\frac{1}{f(x)}$无意义

（四） 左右极限

1. 分段函数在分界点处的极限
2. $e^{\infty }$型极限
3. $arctan\infty$型极限

（五） 求极限

1. n项和\积求极限

1）先求和公式，后求极限
2） 夹逼定理：n项求和失败，且分子分母次数有一不齐
3） 定积分定义：分子、分母次数分别齐，且分母比分子次数多一

2. 不定型求极限

（1） $\frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$：$\{\begin{array}{l}等价无穷小\\ 洛必达法则：\frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty }\\ 泰勒公式\end{array}$

补充：等价无穷小

• $sinx，tanx，arcsinx，arctanx，ln(1+x)，e^x-1\sim x$
• $\frac{a^x-1}{x}\sim lna$
• $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$
• $(1+\alpha (x{)}^{\beta (x)})-1\sim \alpha (x)\beta (x)（\alpha (x)\to 0，\alpha (x)\beta (x)\to 0）$
• $1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2$
• $x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
• $x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $arcsinx-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$

补充：替换公式

• $u(x{)}^{v(x)}\to e^{v(x)lnu(x)}$
• $ln(\dots \dots )\to ln(1+△)\sim △$
• $(\dots \dots )-1\to \{\begin{array}{l}{e}^{△}-1\sim △\\ (1+△{)}^a-1\sim a△\end{array}$

（2）$\frac{\infty }{\infty }$

$\frac{\infty }{\infty }$：$\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ 洛必达法则：\frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty }\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a_m{x}^m+\dots \dots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+\dots \dots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{l}0，m<n\\ \infty ，m>n\\ \frac{a_m}{b_n}，m=n\end{array}\end{array}$

补充：无穷大

• 当x$\to +\infty$时， $l{n}^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x$

• 当n$\to \infty$时，$l{n}^{\alpha }n\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n$

• 无穷大量$\to$无界变量，反之则不然【$(-1{)}^n$】

（3） $1^{\infty }$

$1^{\infty }$：恒等变形，凑$(1+△{)}^{\frac{1}{△}}\sim e$

（4）${\infty }^0$、$0^{\infty }$

$\{\begin{array}{l}{\infty }^0\\ 0^{\infty }\end{array}\to u(x{)}^{v(x)}\to e^{v(x)lnu(x)}$

（5） $0\times \infty$

$0\times \infty$：$\{\begin{array}{l}\frac{0}{\frac{1}{\infty }}\to \frac{0}{0}\\ \\ \frac{\infty }{\frac{1}{0}}\to \frac{\infty }{\infty }\end{array}$

（6） $\infty -\infty$

$\infty -\infty ：\to 0\times \infty$ 同上

补充：代换原则

• 该值为函数区间连续点【$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$】
• 部分因子极限$\exists$即可拆分【$\exists \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A，\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A+\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$（含未知数题中，应先拆出极限$\exists$）
• 加减关系在一定条件下可换
  【$\alpha \sim {\alpha }_1，\beta \sim {\beta }_1，且\{\begin{array}{l}\lim =\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1}=A\ne 1,则\alpha -\beta \sim {\alpha }_1-{\beta }_1\\ \lim =\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1}=A\ne -1,则\alpha +\beta \sim {\alpha }_1+{\beta }_1\end{array}$】

3. 中值定理

（六） 判断连续性及连续函数的性质

1. 判断连续性

1） 定义

设$y=f(x)$在点$x_0$某去心邻域内有定义，则$\{\begin{array}{l}\underset{△x\to 0}{\lim }△y=\underset{△x\to 0}{\lim }[f(x_0+△x)-f(x_0)]\\ \underset{△x\to 0}{\lim }f(x)=f(x_0)\end{array}$

2） 定理

①$f(x)和g(x)$在点$x_0$处连续，则$f(x)\pm g(x)，f(x)g(x)，\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\ne 0)$在点处连续

②设函数$u=\varphi (x)$在点$x_0$处连续，且$\varphi (x_0)=u_0$，函数$y=f(u)$在点$u_0$处连续，则$y=f[\varphi (x)]$在$x=x_0$处连续

③基本初等函数在其定义域内连续

④初等函数在其定义区间内连续

2. 连续函数的性质

设$f(x)\in C[a,b]$

1） （m，M）$f(x)$在[a,b]上有min，MAX
2）（有界） $\exists k>0，使|f(x)|\le k$
3）（零点） $且f(a)f(b)<0，\exists c\in [a,b]，使f(c)=0$
4）（介值） $\forall \eta \in [m,M]，则\exists \xi \in [a,b]，使f(\xi )=\eta$

（七） 间断点的种类

第一类：$f(a-0)=f(a+0)$均有值

$\{\begin{array}{l}可去间断点：f(a-0)=f(a+0)\ne f(a)\\ 跳跃间断点：f(a-0)\ne f(a+0)\end{array}$

第二类：$f(a-0)、f(a+0)$至少一个不存在

判断间断点前（即求极限前），能变形则变形，不着急代入