数学建模(1):期末大乱炖

1 概述!!

1.1 原型和模型

原型:客观存在的研究对象称为原型,也称为“系统”、“过程”。

机械系统、电力系统、化学反应过程、生产销售过程等都是原型; 研究原型的结构和原理, 从而进行优化、预测、评价和控制。

研究原型时的困难:无法直接研究,例如恐龙的生活习性、地质演变等问题; 不允许直接研究,例如克隆人、生化武器等; 研究成本高,具有破坏性,例如核爆炸实验等。

为了解决这些问题,引入模型

为了一定目的,对原型的一部分进行减缩、抽象、提炼,形成的替代物。

1.2 模型的分类

概念模型:以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的结构和机理进行描述的模型;概念模型只能  “知其然”,无法“知其所以然”

物理模型:根据相似原理,把客观事物按比例放大或缩小制成的模型,其结构和机理与原事物基本相同。通过dna结构的启发建立出 港珠澳大桥潮流泥沙物理模型

优点:与原型机理有一定的相似性直观形象,直观形象; 缺点:往往需要占用巨大的场地、研究成本昂贵,试验周期长。

数学模型:基于数学理论和方法,对客观事物的结构和机理进行数量化和几何化的模型。

1.3 数学建模

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模型建立、模型求解、模型检验、模型应用!

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2 山崖高度的估计

2.1 不考虑空气阻力

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灵敏度分析

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灵敏度比较好的话说明模型和结果的鲁棒性比较好!!!

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2.2 考虑空气阻力

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注意这个是微分方程注意微分方程的解法!!!

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3 行车距离模型

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这个模型通过图就知道误差太大了,因为没有考虑到车辆的性能!!!

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参数估计:最小二乘法【算一下】

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思想:让误差平方和达到最小!

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就可以解出来了!!!!!matlab指令!!!

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4 存贮模型!!!

看之前写的那个

优化问题:在一定的约束条件下寻找最佳方案达到目的!

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 不允许缺货、允许缺货两种问题

不允许缺货

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多少天生产一次,一次生产多少!

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生产周期变长的过程中先变小再变大!

目标是:找到目标函数!!!【每天平均下来少才是真正的少!!!】

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模型假设:

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模型建立:

Q=rT 一次生产就要够这个周期所有的用量!!!

直线的斜率是r!!!!!!!【连续化】

总费用 = 贮存费+生产费!

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让目标函数最小,求T,那就对T求导!

模型求解:

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模型解释:

敏感性分析:

自变量先变,然后T变,算出变化量!

约等那是因为:当C1趋于0的时候,就相当于求导了,然后其他的C2、r看作是常数!

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负的话就是减少,正的话就是增加!

允许缺货

模型假设:

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Q = T1*r

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两个模型比较

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在可以缺货的前提下:生产周期可以长一点,每一个周期的生产量可以减少一点!

当缺货损失特别大的时候那么 允许缺货的模型就越来越接近不允许缺货的了!

每个周期的生产量!!是坑!

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5 森林灭火模型

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总的费用一共有两个部分!

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主要是目标函数的转换:从B(t)变成了B'(t)

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面积B和t方成正比 则求导之后dB/dt 与t成正比!则面积就是原目标函数咯!!!

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确定出森林灭火的面积!

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当x =329bf89b27fd4de9a750607ce6724e09.png时,说明火势蔓延的速度 = 扑灭的速度,也就是说人要再多一点!

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分析变大变小的依据只有式子!!!

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6 购物效用模型【不买贵的只买对的】

贵的还是好的

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增长的越来越慢!!!

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三维是不好画图的所以按照组合的方法!!!

无差别曲线

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效用最大化模型:两种商品可以相互替代!

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几何解释相切:【无差别曲线上的效用都是一样的!!!】

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二元函数求极值!

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拉格朗日乘子法!

结论

!边际效用之比等于价格之比是 效用函数最大

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结论:

两种商品的费用之比和商品的价格无关只和效用函数的参数有关,参数可以看作是偏爱程度

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结论:

当n个商品时,单位金额边际效用相等时效用函数最大!

重点是确定效用函数

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例题

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计算出单位金额的边际效用!!!水果的价格用比值之后的就可以这样数比较简单好除一点!!!

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15最大 则花5块钱买一千克桔子然后是 12  则再花5块钱买一千克桔子 依次类推!!!直到花够100元

两个方法比较:

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7 牛奶加工【数学规划模型】

难以使用多元函数极值求出最大/最小值是因为:

在这些题目里决策变量的个数n和约束条件个数m较大、最优解在可行域的边界上取得!

因此可以通过数学规划进行求解!!

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线性规划模型

模型假设:

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小于和小于等于是一样的!

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紧约束还是松约束?

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影子价格

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敏感性分析【"LINGO|Ranges"】

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看下面

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充分条件:在这个范围里影子价格一定有意义,但不在这个范围是可能有意义的!!!!

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8 人口模型!!

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模型1假设

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模型1建立:单位时间内x(t)的增量为rx(t)

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与常用公式一致因为进行了泰勒展开

模型1求解:最小二乘法

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第一个公式是4x1

模型2改进

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指数增长模型只适用于短期预测不适用于长期应用

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logistic模型 !!!!!

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x增加的先快后慢!

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参数估计

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第二个估计的比较好!

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模型检验和预测

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9 传染病模型!!!

SI

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左右两边都是患者的数量!

最大值的一半出现拐点!!!!

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SIS

左边还是一段时间内患者数量的增加!

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记住感染期的定义!

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SIR

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移出者不会被感染了

健康人感染之后就不是健康人了而是移除者

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结果分析:

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10 饮酒驾车模型

 

 

11 捕鱼模型!!

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只需要知道稳定的条件!!!

一阶微分方程平衡点!!!

 

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你就别管:导数小于0就是稳定的,详情可见高等数学学习笔记——第一百讲——微分方程稳定性初步_线性微分方程组的稳定性判据-CSDN博客

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5562c0cbfd534876bf313aa3bb89ccc6.png最大效益模型

追求最大效益时,捕鱼的强度比最大产量时小;当前鱼的余量大于x0=(N/2)捕鱼强度小则余量剩的多!

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12 减肥模型【差分模型】

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13 贷款购房【差分方程!】

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等额本息贷款找的是 每个月欠款之间的递推关系;等额本金还款找的是 每个月所还钱之间的递推关系!

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钱会越还越少,因为每个月所欠的钱都会减少x0/n,那么每个月都会减少相应的利息为(x0/n)*r

则递推公式就写出来了

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14 蛛网模型【物价的波动!】!!!

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蛛网模型

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15 教师评价模型

层次分析法

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(1)归一化处理!

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(2)给一个权重!

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一致性检验:求出差异!

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层次法的归一化就是,除以这一列的和!

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例题:

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16 考研高校选择[熵权法]

信息熵:

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熵权法:

【1】归一化

熵权法的归一化也是除以分量和!!

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【2】计算信息熵

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各个指标的,一个指标的算!

【3】确定权重

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17 公平席位分配!!!

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为什么席位少了

比例+惯例的方法:

 

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每个席位代表的人数多了,则对A不公平!

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原则就是让rA和rB尽量小!

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1)分之前对A就不公平,分了之后还是不公平说明就该给A

Q值方法2641345668f94445ada4f3c663978799.png

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但是还不是绝对公平的哦!!!!

 

18 报童模型【随机优化问题】

需求具有随机性

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所以平均值就有两个部分

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连续化求最大值!

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19 线性回归

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20 市场占有率

 

 

 

 

 

 

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