三分钟看懂马尔可夫链(Markov Chain)是什么

       马尔可夫链(Markov Chain)是一种数学模型,用于描述系统在不同状态之间的转移过程。简单来说,马尔可夫链描述了一个系统在各个状态之间转移的概率,这种转移是随机的,但遵循特定的概率规则。它有两个重要特性:

  1. 状态集合:系统可能存在的所有状态的集合。
  2. 马尔可夫性质:系统的未来状态只取决于当前状态,而与过去的状态无关。这种性质被称为无记忆性(memoryless property)

举个栗子

假设我们有一个简化的天气模型,只有三种状态:晴天、阴天和雨天。我们用马尔可夫链来描述天气的变化规律。假设根据历史数据,我们得到了以下状态转移概率:

  • 如果今天是晴天,明天是晴天的概率是70%,阴天的概率是20%,雨天的概率是10%
  • 如果今天是阴天,明天是晴天的概率是40%,阴天的概率是40%,雨天的概率是20%
  • 如果今天是雨天,明天是晴天的概率是30%,阴天的概率是30%,雨天的概率是40%

写成表格形式是

状态/转移到晴天阴天雨天
晴天0.70.20.1
阴天0.40.40.2
雨天0.30.30.4

写成状态转移矩阵的形式是

\begin{bmatrix} 0.7 &0.2 &0.1 \\ 0.4&0.4 &0.2 \\ 0.3&0.3 &0.4 \end{bmatrix}

假设今天是晴天,我们可以用马尔可夫链来预测未来几天的天气变化:

  1. 今天是晴天(初始状态)。
  2. 明天的天气:根据转移矩阵,明天是晴天的概率是70%,阴天的概率是20%,雨天的概率是10%。
  3. 后天的天气:假设明天的天气是晴天,那么根据转移矩阵,再次计算后天的天气概率。

通过这种方式,我们可以预测未来几天的天气变化,尽管每一步都是随机的,但在概率上我们可以有一个合理的预期。

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