数据结构之探索“堆”的奥秘

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所属专栏：数据结构（Java版）

堆的概念

堆的创建

时间复杂度分析：

堆的插入与删除

优先级队列

PriorityQueue的特性

PriorityQueue源码分析

PriorityQueue常用接口介绍

构造方法：

堆的应用

堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储（从上到下、从左到右）在一个一维数组中，并满足：Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) (Ki >= K(2i+1) 且 Ki >= K(2i+2) ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

注意：Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) 这个公式就是说明根结点的值小于等于左右孩子节点的值，即小根堆或者最小堆。与其相反就是根结点的值大于等于左右孩子节点，即大根堆或者最大堆。

堆的性质：

1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

例如：小根堆就是根结点的值小于等于孩子节点的值，也就是说孩子节点的值大于等于根结点的值，也就对应了孩子节点不小于其父节点；反之，就是大根堆的性质了。

2、堆总是一棵完全二叉树。

因为堆是把数据按照完全二叉树的方式存储在一个一维数组中的。

3、堆的根结点总是这个一维数组中的最值，要么是最大值，要么是最小值。

如果是大根堆，按照性质1 的推论就是：根结点的值大于等于孩子节点的值。这样一直递归下去，根结点肯定就是最大的。最坏情况就是所有结点的值全部相等。

4、堆的存储结构是一个一维数组，但是其逻辑结构是一个完全二叉树。

为什么不能是一个普通的二叉树呢？因为普通的二叉树会有空节点（空树），这样在数组中就会null元素的存在，导致了空间利用率比较低。

堆的创建

现有一组数据 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 我们要把这组数据组织成大根堆。

public class Heap {int[] elem;int usedSize;public Heap(int k) {elem = new int[k];}public Heap() {elem = new int[10];}// 给堆初始化数据public void initHeap(int[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {elem[i] = array[i];usedSize++;}}
}

思路：大根堆的特点是根结点的值大于左右孩子节点的值。这里采用的是一种向下调整的方法。

即从最后一棵树的根结点位置开始进行调整大根堆，一直调整到整棵树的根结点满足大根堆。

// 创建大根堆
public void createHeap() {// 从最后一棵子树的根结点位置开始for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {// 向下调整的方法：从要调整的位置开始，到整棵树结束siftDown(parent, usedSize);}
}private void siftDown(int parent, int usedSize) {int child = parent * 2 + 1;// 只有当孩子节点在有效数据之内时，才能调整while (child < usedSize) {// 先找到左右孩子节点的最大值if (child+1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]) { // 得确保右孩子存在child++;}// 比较孩子节点的最大值和根结点的值if (elem[parent] < elem[child]) {// 交换swap(elem, parent, child);// 交换完成只是本级满足了大根堆的条件，但是交换下去的值不一定满足当级的大根堆条件parent = child;child = parent * 2 + 1;} else {// 满足大根堆就不需要继续调整了break;}}
}private void swap(int[] elem, int i, int j) {int tmp = elem[i];elem[i] = elem[j];elem[j] = tmp;
}

这里可能有几个小伙伴们疑惑的地方：

1、为什么交换完成之后还要再进行向下调整判断是否需要交换？

总而言之就是一句话：参与调整的，就得再次进行判断是否符合大根堆。

2、为什么本级满足大根堆的情况后，就不需要继续往下判断是否调整？

因为我们是从下面开始调整的，如果本级满足了大根堆，那么下面的就一定也满足大根堆。因此就无需继续判断了。

时间复杂度分析：

将上面的所有结果相加，就是最终的时间复杂度。

因此向下调整建堆的时间复杂度是：O(N)。

堆的插入与删除

堆的插入：

思路：因为堆在存储上是一个数组，那么我们肯定是按照插入数组元素的方法来进行插入，即尾插。尾插完之后，还得进行判断这个新的堆是否是大根堆。因为这个的判断方式是从插入的节点开始往上判断，因此这个判断是向上调整。

    public void offer(int val) {// 插入的元素放到最后，然后其所在的树进行向上调整// 判满，扩容if (isFull()) {elem = Arrays.copyOf(elem, elem.length*2);}elem[usedSize++] = val;siftUp(usedSize-1, 0);}private boolean isFull() {return usedSize == elem.length;}private void siftUp(int child, int end) {// 因为原来是满足大根堆的，因此我们只需要判断这个新插入的元素是否也满足int parent = (child-1) / 2;while (parent >= end) {if (elem[child] > elem[parent]) {// 交换swap(elem, child, parent);child = parent;parent = (child-1) / 2;} else {// 因为原来是满足大根堆的，如果这个也满足，那么就全部满足了break;}}}

有了插入方法，我们也就可以通过插入来创建堆了。

注意：我们手动创建堆的方法是采用向下调整，而插入元素采用的是向上调整。因此，两者创建出来的堆结果会不一样，但都是大根堆。

向上调整建堆的时间复杂度分析：

与向下调整相比，向上调整还要把最后一层的节点全部调整，因此，向上调整的时间复杂度肯定是大于向下调整的。

向上调整建堆的时间复杂度O(N+logN) 。

堆的删除：

思路：堆的删除，我们采取的方式也和数组类似，是把堆顶元素与最后一个元素交换，再进行向下调整。

    public int poll() {// 判空，抛异常if (isEmpty()) {throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");}int val = elem[0];swap(elem, 0, usedSize-1);siftDown(0, usedSize-1);usedSize--;return val;}private boolean isEmpty() {return usedSize == 0;}

堆的删除的时间复杂度：O(logN)。

交换完，向下调整就只调整树的高度，也就是logN。

堆的插入的时间复杂度：O(logN)。

插在最后，然后进行向上调整，也是调整树的高度。

获取堆顶元素：

    public int peek() {if (isEmpty()) {throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");}return elem[0];}

看到这里，我们就应该可以猜出堆和队列是有关系的，否则，不会把队列的方法名给堆。堆这种数据结构可以实现优先级队列。

优先级队列

通过堆的性质3，我们就可以推出一个结论：如果我们每次从堆中删除数据一定删除的是优先级最高的。如果是小根堆，那么就是删除最小值，如果是大根堆，那么删除的就是最大值。即优先级最高的先被删除。这就对应了队列中的一个特殊队列：优先级队列。实际上JavaAPI中优先级队列底层就是通过堆来实现的。

PriorityQueue的特性

1、使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

2、PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException异常。

因为堆中的元素是需要可以比较大小。否则，无法判别优先级。

3、不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException。

因为我们去比较的时候，是通过对象调用专属的比较方法，如果对象为null，就会发生空指针异常。

4、PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素。

5、其内部可以自动扩容，无需我们主动实现。

PriorityQueue源码分析

PriorityQueue常用接口介绍

构造方法：

构造器	功能介绍
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(Collection c)	用一个集合来创建优先级队列

使用：

public class Test {public static void main(String[] args) {// 创建一个优先级队列，默认容量11PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>();// 创建一个优先级队列，容量是20PriorityQueue<Integer> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>(20);List<Integer> list = new ArrayList<>();list.add(1);list.add(2);list.add(3);list.add(4);list.add(5);// 创建一个优先级队列（容量根据list的大小来分配）PriorityQueue<Integer> priorityQueue3 = new PriorityQueue<>(list);// 长度System.out.println(priorityQueue3.size());// 小根堆System.out.println(priorityQueue3.poll());}
}

这里的“容量根据list的大小来分配”的意思是：本来的默认容量是11，如果list的长度大于11，那么就会按照2倍或者1.5倍去扩容。

插入/删除/获取优先级最高的元素

函数名	功能介绍
boolean offer(E e)	插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度O(log2 N)，注意：空间不够时候会进行扩容
E peek()	获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null
E poll ()	移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null
int size()	获取有效元素的个数
void clear()	清空
boolean isEmpty()	检测优先级队列是否为空，空返回true

堆的应用

1、PriorityQueue的实现。

2、堆排序。

不同的顺序，建立不同的堆，但是一定是后面的元素先有序，再是前面的元素有序。

因此我们就可以知道：如果是从小到大排序，那么就要建大根堆；反之，则是建小根堆。

因为如果是从小到大排序，且后面的元素先有序，那么后面的元素只能是最大的，因此建立大根堆的话，堆顶元素一定是最大的。这时，我们只需把堆顶元素和最后一个元素进行交换，然后再进行向下调整，直至调整到整棵树的根节点。

代码实现：

    public void heapSort() {int j = 0;for (int i = usedSize-1; i > 0; i--) {swap(elem,i,j);siftDown(0, i);}}

3、Top-k问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大，且K都比较小。

例如：全球前500强的企业。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

如果是要找前K个最小的元素，将前K个元素建成大根堆，然后再去遍历后N-K个元素，遇到小于堆顶元素的就交换，遍历完成后剩下的堆中元素就是前K个最小的。

练习：面试题 17.14.最小K的个数

题目：

设计一个算法，找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

示例：
输入： arr = [1,3,5,7,2,4,6,8], k = 4
输出： [1,2,3,4]
提示：

0 <= len(arr) <= 100000
0 <= k <= min(100000, len(arr))

思路一：直接排序，然后遍历前K个即可。

    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {// 调用JavaAPI提供的方法才行，自己实现的方法会超出时间限制Arrays.sort(arr); // 默认是从小到大排序int[] ret = new int[k];for (int i = 0; i < k; i++) {ret[i] = arr[i];}return ret;}

思路二：将N个元素建成小根堆，然后每次取堆顶元素，取K次即可。

    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();for (int i = 0; i < arr.length; i++) {priorityQueue.offer(arr[i]);}// 上面是建成的小根堆int[] ret = new int[k];for (int i = 0; i < k; i++) {ret[i] = priorityQueue.poll();}return ret;}

思路三：取前K个元素建成大根堆，然后再遍历剩下的元素，如果小于堆顶元素，则交换。

class Solution {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {int[] ret = new int[k];if (k == 0 || arr == null) {return ret;}PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k, new Incompare());for (int i = 0; i < k; i++) {priorityQueue.offer(arr[i]);}for (int i = k; i < arr.length; i++) {if (priorityQueue.peek() > arr[i]) {priorityQueue.poll();priorityQueue.offer(arr[i]);}}for (int i = 0; i < k; i++) {ret[i] = priorityQueue.poll();}return ret;}
}// 创建新的比较器
class Incompare implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2.compareTo(o1);}
}

好啦！本期数据结构之探索“堆”的奥秘的学习之旅就到此结束啦！我们下一期再一起学习吧！