Python数值计算(13)

1. 数学知识

虽然在给定了N个点以后,通过这个点的最小幂多项式是确定的,但是表达方式可不止一种,例如前面提到的系数方式,根方式,还有插值的Lagrange形式等。这里介绍另外一种表达方式:

P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...\\+a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})

显然这个式子最高次幂不会超过n,然后在x=x_0,x_1,...x_{n-1}时,有:

P_n(x_0)=a_0\\ P_n(x_1)=a_0+a_1(x_1-x_0)\\ ...\\ P_n(x_{n-1})=a_0+a_1(x_1-x_0)+...+a_{n-1}(x_{n-1}-x_0)(x_{n-1}-x_1)...(x_{n-1}-x_{n-2})

使用这种表达方式的关键自然是确定前面的系数,而Newton差商公式,就是解决这一问题的。

求解差商的秘诀还是构造差商表,和前面Neville方法类似,但是最后的构造形式会有些差别。

首先,差商的计算方式如下:

F_{i,j}=\frac{F_{i,j-1}-F_{i-1,j-1}}{x_i-x_{i-j}}

零阶差商用函数值表示,最后所求的系数a_0,a_1,a_2,...a_n在差商矩阵的主对角线上。

2. 代码实现

Python实现代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.polynomial import Polynomial as P
np.polynomial.set_default_printstyle("unicode")def newtonIntp(x:np.ndarray,y:np.ndarray):'''返回基于x,y点对的牛顿插值多项式,以及差商矩阵'''n=len(x)F=np.array([0.0]*n*n).reshape(n,n)F[:,0]=y.copy()for c in range(1,n):for r in range(c,n):F[r,c]=(F[r,c-1]-F[r-1,c-1])/(x[r]-x[r-c])diag = np.diagonal(F)p=P(F[0,0])for i in range(1,n):p+=F[i,i]*P.fromroots(x[0:i])return p,F

测试依旧用原来的函数生成的数据,即下表:

XY
-2-19
-10
01
12
221

 测试拟合代码如下:

x=[-2,-1,0,1,2]
y=[-19,0,1,2,21]
Q,M=newtonIntp(x,y)
print(Q)
print(M)

输出为:

1.0 - 2.0·x + 0.0·x² + 3.0·x³
[[-19.   0.   0.   0.   0.][  0.  19.   0.   0.   0.][  1.   1.  -9.   0.   0.][  2.   1.   0.   3.   0.][ 21.  19.   9.   3.   0.]]

显然这和之前的多项式是一致的。

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