系列笔记：
【强化学习的数学原理】课程笔记–1（基本概念，贝尔曼公式）
【强化学习的数学原理】课程笔记–2（贝尔曼最优公式，值迭代与策略迭代）
【强化学习的数学原理】课程笔记–3（蒙特卡洛方法）
【强化学习的数学原理】课程笔记–4（随机近似与随机梯度下降，时序差分方法）
【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法）

Actor-Critic 方法

Actor-Critic 属于策略梯度（PG）方法，实际上是将 值函数近似 和 Policy gradient 方法进行了结合。具体来说，上一节 介绍的 Policy gradient 迭代式是：
$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]\\ & \stackrel{随机梯度}{=}{\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q_t(s_t,a_t)\end{array}$$

这里面求解 $\pi$ 就是 policy-based (Actor) ，然后求解 $\pi$ 需要知道 action value $q_t(s_t,a_t)$，这一步就是 value-based (Critic) 。在之前的章节中，介绍了两种计算 action value $q_t(s_t,a_t)$ 的方法：

1. 蒙特卡洛方法：生成一个完整的 episode，使用 episode 中所有从 $(s_t,a_t)$ 出发得到的 action value 的均值来估计 $q_t(s_t,a_t)$，即为 上一节 介绍的 REINFORCE 算法
2. 时序差分方法：每走一步生成一个样本，就可以更新对应的 action value，走足够多步，也可也逐渐估计到比较准确的 $q_t(s_t,a_t)$，即为本节的 Actor-Critic 算法

---

QAC 算法

QAC 算法是一种比较简单的 Actor-Critic 方法，它在 update action value 时用的是时序差分方法中的 Sarsa 算法：

其中 value update 的公式：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma q(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-q(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_{w}q(s_t,a_t,w_t)$$
是 Sarsa 的值函数形式，详细可见 【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法）

---

Advantage Actor-Critic 算法

Baseline invariance

这里先介绍一下 Baseline invariance，旨在引入一个 $b(s)$，使得加入这个偏置之后，不影响 ${\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)$ 的期望，且会减小其方差。这里的含义是：在 Policy gradient 中，
$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]\\ & \stackrel{随机梯度}{=}{\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q_t(s_t,a_t)\end{array}$$
我们用通过多次的单个样本迭代来拟合随机变量的期望，但如果 ${\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)$ 的方差本身是比较大的（由于真实分布未知，不排除这种可能），那么在样本量不足够多时，对期望的估计有更大的可能是不准的。eg：见下图，当从方差大的分布中采样时，其离我们希望拟合的期望值 0 往往距离较远；而从小方差分布中采样，则基本都离期望值 0 很近了。

1.不影响期望

要证明
$$E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]=E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-b(S))]$$
只需证：
$$E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(S)]=0$$
这个过程比较trivial：
$$\begin{array}{rl}{E}_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(S)]& =\sum _s\eta (s)\sum _a\pi (a|s,{\theta }_t){\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)b(s)\\ & =\sum _s\eta (s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (A|S,{\theta }_t)b(s)(由于{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)=\frac{{\nabla }_{\theta }\pi (A|S,{\theta }_t)}{\pi (a|s,{\theta }_t)})\\ & =\sum _s\eta (s)b(s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (A|S,{\theta }_t)\\ & =\sum _s\eta (s)b(s){\nabla }_{\theta }\sum _a\pi (A|S,{\theta }_t)\\ & =\sum _s\eta (s)b(s){\nabla }_{\theta }1=0\end{array}$$

1.减小方差

记 $$X(S,A)={\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-b(S))$$

$$\begin{array}{rl}\text{tr}[\text{var}(X)]& =\text{tr}[E[(X-E(X){)}^2]]\\ & =\text{tr}[E[(X-E(X))(X-E(X){)}^T]]\\ & =\text{tr}[E[X{X}^T-E(X)X^T-XE(X{)}^T+E(X)E(X{)}^T]]\\ & =E[X^{T}X-X^{T}E(X)-E(X{)}^{T}X+E(X{)}^{T}E(X)](由于\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA))\\ & =E[X^{T}X]-E[X{]}^{T}E(X)-E(X{)}^{T}E(X)+E(X{)}^{T}E(X)\\ & =E[X^{T}X]-E[X{]}^{T}E(X)\end{array}$$

由于 $E(X)$ 与 $b(S)$ 无关，因此要最小化 $\text{tr}[\text{var}(X)]$，只需要考虑最小化 $E[X^{T}X]$：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{b}E[X^{T}X]& ={\nabla }_{b}E[({\nabla }_{\theta }\ln \pi {)}^T({\nabla }_{\theta }\ln \pi )(q_{\pi }(S,A)-b(S){)}^2]\\ & ={\nabla }_{b}E[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2(q_{\pi }(S,A)-b(S){)}^2]\\ & ={\nabla }_b\sum _s\eta (s)E_{A\sim \pi }[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2(q_{\pi }(S,A)-b(S){)}^2]\\ & =-2\sum _s\eta (s)E_{A\sim \pi }[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2(q_{\pi }(S,A)-b(S))]\\ & =0\end{array}$$

$$\Rightarrow E_{A\sim \pi }[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2(q_{\pi }(S,A)-b(S))]=0,\forall s$$
因此
$$b^{\ast }(s)=\frac{E_{A\sim \pi }[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2{q}_{\pi }]}{E_{A\sim \pi }[||{\nabla }_{\theta }\ln \pi |{|}^2]},\forall s$$

不过上式比较复杂，实践中常常使用 $$b^{\ast }(s)=E_{A\sim \pi }[q_{\pi }(s,A)]=v_{\pi }(s),\forall s$$ 也有还不错的效果。

---

Advantage Actor-Critic （A2C）算法就是将 $b(S)$ 取为 $b^{\ast }(s)=v_{\pi }(s)$ 时的算法，因此：
$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S))]\\ & \stackrel{.}{=}{\theta }_t+\alpha E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)\delta (S,A)]\\ & \stackrel{随机梯度}{=}{\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)\delta (s_t,a_t)\end{array}$$

这里 $\delta (S,A)=q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S)$ 称为 优势函数。这里的含义是，由于 $v_{\pi }(S)=E_{A\sim \pi }[q_{\pi }(s,A)]$，因此 $\delta (S,A)$ 越大，表示当前 action 的 value 比平均值来的更大，即更有优势。根据 $\delta (s_t,a_t)$ 的值来判断 ${\theta }_{t+1}$ 的改进方向也确实比单纯只用 $q_{\pi }(s_t,a_t)$ 更为精准，因为 action value 的相对大小比绝对大小更有意义。

这里由于 $$q_{\pi }(s_t,a_t)=E[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s_t,A_t=a_t]$$
因此求解 $$\delta (s_t,a_t)=q_{\pi }(s_t,a_t)-v_{\pi }(s_t)=E[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})-v_{\pi }(S_t)|S_t=s_t,A_t=a_t]$$
转化求解 state value $v_{\pi }(s_t)$，根据 【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法），其值函数近似迭代为：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})-v(s_t,w_k)){\nabla }_{w}v(s_t,w_k)=w_t+{\alpha }_t{\delta }_t{\nabla }_{w}v(s_t,w_k)$$

---

Off-policy Actor-Critic

不难发现之前学习的几个 Policy grandient 算法：REINFORCE, QAC 以及 A2C ，都是 on-policy 算法，因为其目标函数：
$$E_{S\sim \eta ,A\sim \pi }[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-b(S))]$$
在采样时，都要依赖策略 $\pi$ （因为 $A\sim \pi$）。

在实际使用时，要想将这些 on-policy 算法转成 off-policy 的，需要用到一种技术叫 重要性采样（事实上，所有 on-policy 的强化学习算法都可以通过这个技术转成 off-policy 的，并且重要性采样这个技术也可以用于其他领域，当要估计的分布与数据采样的分布不同的情况）

重要性采样

重要性采样主要用于处理如下问题：

目标是估计 $$E_{X\sim p_0}[X]$$
但现在我们只有一批根据分布 $p_1$ 采到的样本 { x 1 , x 2 , . . . } \{x_1, x_2, ...\} {x1​,x2​,...}，现在想用这些样本来估计 $E_{X\sim p_0}[X]$

由于
$$E_{X\sim p_0}[X]=\sum _x{p}_0(x)x=\sum _x{p}_1(x)\frac{p_0(x)}{p_1(x)}x=E_{X\sim p_1}[f(X)]，\text{其中 }f(x)=\frac{p_0(x)}{p_1(x)}x$$

根据 大数定理 （见 【强化学习的数学原理】课程笔记–3（蒙特卡洛方法）），$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{p_0(x_i)}{p_1(x_i)}{x}_i$$
是 $E_{X\sim p_1}[f(X)]$ 的无偏估计。其中 $\frac{p_0(x_i)}{p_1(x_i)}$ 也称 重要性权重。一个直观的理解是：当 $p_0(x_i)>p_1(x_i)$ 时，说明 $p_1$ 分布中，采到样本 $x_i$ 的概率要小一些，那么为了拟合 $p_0$ 分布的采样情况，当采到一个 $x_i$ 时，要增加它的权重，才能更近似 $p_0$ 分布的采样效果。（实际使用中，$p_0$ 和 $p_1$ 分布是两个神经网络，$p_1$ 是一个已经训好的网络，而 $p_0$ 是我们要训的网络）

---

现在可以描述 Off-policy Actor-Critic 算法，【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法） 给出了 Policy Gradient 方法的目标函数：
$$E[v_{\pi }(S)]=\sum _{s}d(s)v_{\pi }(s)$$
其中 $d(s)$ 是平稳分布。这里我们记 $\beta$ 为 behavior policy，则 Off-policy 算法的目标函数变成：
$$J(\theta )=E_{S\sim d_{\beta }}[v_{\pi }(S)]=\sum _s{d}_{\beta }(s)v_{\pi }(s)$$

其梯度为：

$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=E_{S\sim \rho ,A\sim \beta }[\frac{\pi (A|S,\theta )}{\beta (A|S)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]$$
其中 $$\rho (s)=\sum _s^{\prime }{d}_{\beta }(s^{\prime })\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s^{\prime }s}$$ 即所有从 $s^{\prime }$ 到 $s$ 的 trajectory 的 discounted probability 之和。

Proof：在 【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法） 中已经证明：
$${\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)=\sum _{s^{\prime }}\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)$$
因此：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }J(\theta )& ={\nabla }_{\theta }\sum _s{d}_{\beta }(s)v_{\pi }(s)=\sum _s{d}_{\beta }(s){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)\\ & =\sum _s{d}_{\beta }(s)\sum _{s^{\prime }}\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\\ & =\sum _{s^{\prime }}(\sum _s{d}_{\beta }(s)\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s{s}^{\prime }})\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\\ & =\sum _{s^{\prime }}\rho (s^{\prime })\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\\ & =E_{S\sim \rho }[\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|S,\theta )q_{\pi }(S,a)]\\ & =E_{S\sim \rho }[\sum _a\beta (a|S)\frac{\pi (a|S,\theta )}{\beta (a|S)}\frac{{\nabla }_{\theta }\pi (a|S,\theta )}{\pi (a|S,\theta )}{q}_{\pi }(S,a)]\\ & =E_{S\sim \rho }[\sum _a\beta (a|S)\frac{\pi (a|S,\theta )}{\beta (a|S)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|S,\theta )q_{\pi }(S,a)]\\ & =E_{S\sim \rho ,A\sim \beta }[\frac{\pi (A|S,\theta )}{\beta (A|S)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]\end{array}$$

综上，Off-policy Actor-Critic 算法的迭代式为（考虑 Baseline invariance）：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha E_{S\sim \rho ,A\sim \beta }[\frac{\pi (A|S,\theta )}{\beta (A|S)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)(q_{\pi }(S,A)-v_{\pi }(S))]\\ & \stackrel{.}{=}{\theta }_t+\alpha E_{S\sim \rho ,A\sim \beta }[\frac{\pi (A|S,\theta )}{\beta (A|S)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)\delta (S,A)]\\ & \stackrel{随机梯度}{=}{\theta }_t+\alpha \frac{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{\beta (a_t|s_t)}{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)\delta (s_t,a_t)\end{array}$$

其算法为：

---

Deterministic Policy Gradient (DPG)

【强化学习的数学原理】课程笔记–5（值函数近似，策略梯度方法） 中推导了 statistical policy 的目标函数梯度的统一形式：

$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\sum _s\eta (s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)$$
上式的一个等价形式：$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=E_{S\sim \eta ,A\sim \pi (S,\theta )}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]$$

类似的，Deterministic policy $\mu$ 是贪婪策略，因此
$$\mu (a|s)=\{\begin{array}{l}1,a={\mathrm{argmax}}_{a\in A}q(s,a)\\ 0,a\ne {\mathrm{argmax}}_{a\in A}q(s,a)\end{array}$$

其对应的目标函数梯度的统一形式为：

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }J(\theta )& =\sum _s\eta (s){\nabla }_{\theta }\mu (s){\nabla }_a{q}_{\mu }(s,a=\mu (s))\\ & =E_{S\sim \eta }[{\nabla }_{\theta }\mu (s){\nabla }_a{q}_{\mu }(s,a=\mu (s))]\end{array}$$

具体证明见 强化学习的数学原理

综上，Deterministic Actor-Critic 算法的迭代式为（考虑 Baseline invariance）：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha E_{S\sim \eta }[{\nabla }_{\theta }\mu (s){\nabla }_a{q}_{\mu }(s,a=\mu (s))]\\ & \stackrel{随机梯度}{=}{\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\mu (s_t){\nabla }_a{q}_{\mu }(s_t,a=\mu (s_t))\end{array}$$

由于采样时无需依赖 policy $\mu$，因此 Deterministic Actor-Critic 很自然是 off-policy 的。

这里利用了对 action value $q(s_t,a_t)$ 的值函数估计：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma q(s_{t+1},\mu (s_{t+1},{\theta }_t),w_t)-q(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_{w}q(s_t,a_t,w_t)$$

注意这里的样本虽然是用到了 { s t , a t , r t + 1 , s t + 1 , a ^ t + 1 } \{s_t, a_t, r_{t+1}, s_{t+1}, \hat a_{t+1}\} {st​,at​,rt+1​,st+1​,a^t+1​}，但其中 ${\hat{a}}_{t+1}$ ，其实是由当前 target policy $\mu (s_{t+1},{\theta }_t)$ 取得的，而不是采样来的。下一步的样本 $(s_{t+1},a_{t+1})$ 才是再根据 behavior policy 采样得到的。

---

Reference：
1.强化学习的数学原理