1、介绍

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含“划分”和“合并”阶段。

1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。

2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

2、算法流程

“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。

2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

• 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。

• 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

归并排序的实现如以下代码所示。请注意，nums 的待合并区间为 [left, right] ，而 tmp 的对应区间为 [0, right - left] 。

/*合并左子数组和右子数组 */
void merge(vector<int>& nums,int left, int mid, int right)
{// 左子数组区间为［left，mid］，右子数组区间为[mid+1，right］// //创建一个临时数组tmp，用于存放合并后的结果vector<int> tmp(right - left + 1);//初始化左右子数组的起始索引int i = left, j = mid + 1, k = 0;//当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中while (i <= mid && j <= right){if (nums[i] <= nums[j]){tmp[k++] = nums[i++];}else{tmp[k++] = nums[j++];}}//将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中while (i <= mid){tmp[k++] = nums[i++];}while (j <= right){tmp[k++] = nums[j++];}//将临时数组tmp中的元素复制回原数组nums的对应区间for(k = 0;k < tmp.size();k++){nums[left + k] = tmp[k];}
}void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
{//终止条件if (left >= right){return;}//划分阶段int mid = left + (right - left) / 2;   //计算划分中点mergeSort(nums, left, mid);//递归左子数组mergeSort(nums, mid + 1, right);//递归右子数组//合并阶段merge(nums,left, mid, right);
}

3、算法特性

• 时间复杂度为 O(nlog⁡n)、非自适应排序：划分产生高度为 log⁡n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，因此总体时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

• 空间复杂度为 O(n)、非原地排序：递归深度为 log⁡n ，使用 O(log⁡n) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 O(n) 大小的额外空间。

• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。