四阶龙格-库塔法介绍

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下:

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中：

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

• k1是时间段开始时的斜率；
• k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
• k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
• k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

举例分析

以2022年国赛A题 波浪能最大输出功率设计 第一问为例（有些公式出现的很突兀，建议看一下优秀论文，更易理解）参考资料：2022高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题论文展示（A001）

第一问建立的数学模型如下：

需要求解的是浮子与振子的位移和速度，标红表示已知参数

Matlab编程实现

第一题第（1）问完整代码如下：

% 第一题第（1）问
ticclear;
clc;
close all;%% 数据初始化
w = 1.4005; %角速度 入射波浪频率
T = (2*pi)/w*40; % 前40个波浪周期
h = 1e-4; % 步长
t = 0:h:T; % 生成自变量t的向量mf = 4866; % 浮子的质量kg
mz = 2433; % 振子的质量kg
mfu = 1335.535; % 垂荡附加质量
S = mf + mfu;C_x = 656.3616; % 兴波阻尼
rho = 1025; % 海水密度
g = 9.8; % 重力加速度
A = pi; % 圆柱的横截面积
zf = 6250; % 垂荡激励力振幅（N）
K_tang = 80000;% 弹簧刚度
B = rho*g*A;
V = (0.8*pi)/3;% 圆锥的体积K_zn = 10000;% 阻尼系数
% 创建计算结果x,y,z,m的数组
N = length(t);
f_x = zeros(1,N); % 浮子的位移
z_x = zeros(1,N); % 振子的位移
f_v = zeros(1,N); % 浮子的速度
z_v = zeros(1,N); % 振子的速度%% 四阶龙格库塔迭代求解
% k1 = f(tn,yn)
% k2 = f(tn+h/2,yn+h/2*k1)
% k3 = f(tn+h/2,yn+h/2*k2)
% k4 = f(tn+h/2,yn+h*k3)
% y(n+1) = yn + h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
for i = 2:Ntn = t(i-1);fx = f_x(i-1);zx = z_x(i-1);fv = f_v(i-1);zv = z_v(i-1);dfx1 = fv; % yndzx1 = zv;dfv1 = (zf*cos(w*tn) + K_zn*(zv-fv) + K_tang*(zx-fx) - C_x*fv - B*fx)/S;dzv1 = -(K_zn*(zv-fv) + K_tang*(zx-fx))/mz;dfx2 = fv + h/2*dfv1; % yn+k1*h/2 (即v0 + a*t)dzx2 = zv + h/2*dzv1;dfv2 = (zf*cos(w*(tn+h/2)) + K_zn*(zv+h/2*dzv1-fv-h/2*dfv1) + ...K_tang*(zx+h/2*dzx1-fx-h/2*dfx1) - C_x*(fv+h/2*dfv1) - B*(fx+h/2*dfx1))/S;dzv2 = -(K_zn*(zv+h/2*dzv1-fv-h/2*dfv1) + K_tang*(zx+h/2*dzx1-fx-h/2*dfx1))/mz;dfx3 = fv + h/2*dfv2; % yn+h/2*k2dzx3 = zv + h/2*dzv2;dfv3 = (zf*cos(w*(tn+h/2)) + K_zn*(zv+h/2*dzv2-fv-h/2*dfv2) + ...K_tang*(zx+h/2*dzx2-fx-h/2*dfx2) - C_x*(fv+h/2*dfv2) - B*(fx+h/2*dfx2))/S;dzv3 = -(K_zn*(zv+h/2*dzv2-fv-h/2*dfv2) + K_tang*(zx+h/2*dzx2-fx-h/2*dfx2))/mz;dfx4 = fv + h*dfv3; % yn+h/2*k3dzx4 = zv + h*dzv3;dfv4 = (zf*cos(w*(tn+h)) + K_zn*(zv+h*dzv3-fv-h*dfv3) + ...K_tang*(zx+h*dzx3-fx-h*dfx3) - C_x*(fv+h*dfv3) - B*(fx+h*dfx3))/S;dzv4 = -(K_zn*(zv+h*dzv3-fv-h*dfv3) + K_tang*(zx+h*dzx3-fx-h*dfx3))/mz;f_x(i) = fx + h/6*(dfx1+2*dfx2+2*dfx3+dfx4);z_x(i) = zx + h/6*(dzx1+2*dzx2+2*dzx3+dzx4);f_v(i) = fv + h/6*(dfv1+2*dfv2+2*dfv3+dfv4);z_v(i) = zv + h/6*(dzv1+2*dzv2+2*dzv3+dzv4);
end%% 画图
figure();
subplot('121');
plot(t,f_x,'r');
hold on;
plot(t,z_x-f_x,'b');
plot([0,T],[0,0]);
legend('浮子','振子');
xlabel('时间 s');
ylabel('位移 m');subplot('122');
plot(t,f_v,'r');
hold on 
plot(t,z_v-f_v,'b');
plot([0,T],[0,0]);
legend('浮子','振子');
xlabel('时间 s');
ylabel('速度 m/s');resfx=[];
resfv=[];
reszx=[];
reszv=[];
cout=0;
%遍历时间间隔为0.2，前40个波浪周期的垂荡位移和速度
start=find(t==0);
over=find(t==0.2);
dtt=over-start;
index=1;
for xx=0:0.2:Tcout=cout+1;%查找对应时间所在的位置%记录位移速度resfx(cout)=f_x(index);reszx(cout)=z_x(index);resfv(cout)=f_v(index);reszv(cout)=z_v(index);index=index+dtt;
end
time =0:0.2:T;
result = [time',resfx',resfv',reszx',reszv'];
xlswrite('myresult-test',result);toc

运行结果：