代码随想录训练营 Day37打卡 动态规划 part05

一、完全背包理论基础

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

首先再回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

二、力扣518. 零钱兑换II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 ：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

代码实现

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:# 初始化 dp 数组，其中 dp[i] 表示金额为 i 时的硬币组合数dp = [0] * (amount + 1)# 当金额为 0 时，只有一种方式（即不选择任何硬币）dp[0] = 1# 遍历每一种硬币面额for i in range(len(coins)):# 对于当前硬币面额 coins[i]，遍历从 coins[i] 到 amount 的所有金额# 这样确保计算 dp[j] 时，dp[j - coins[i]] 已经计算完毕，符合动态规划的要求for j in range(coins[i], amount + 1):# 更新 dp[j]，将当前面额的硬币考虑进来dp[j] += dp[j - coins[i]]# dp[j] 表示在考虑当前硬币后，凑成金额 j 的组合数# dp[j - coins[i]] 表示凑成金额 (j - 当前硬币面额) 的组合数# 将其加入 dp[j]，表示加上当前硬币后，组合数的增加# 返回凑成总金额 amount 的硬币组合数return dp[amount]

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三、力扣377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 ：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

在动态规划：494.目标和 (opens new window)和 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

我们再来用示例中的例子推导一下：

代码实现

class Solution:def combinationSum(self, nums: List[int], target: int) -> int:# 初始化 dp 数组，dp[i] 表示凑成目标整数 i 的排列组合个数dp = [0] * (target + 1)# 当目标为 0 时，只有一种组合方式，即不选择任何元素dp[0] = 1# 遍历所有可能的目标数值 i，从 1 到 targetfor i in range(1, target + 1):  # 遍历背包容量（目标数值）# 遍历每个元素 nums[j]for j in range(len(nums)):  # 遍历物品（数组中的每个元素）# 如果当前目标 i 减去 nums[j] 之后，仍然是非负数# 说明 nums[j] 可以作为一个组成部分加入当前的排列组合中if i - nums[j] >= 0:# 更新 dp[i]，dp[i] 通过 dp[i - nums[j]] 转移而来# dp[i - nums[j]] 是之前的目标值为 i - nums[j] 时的组合数# 加入 nums[j] 后，这些组合可以形成目标 idp[i] += dp[i - nums[j]]# 返回凑成目标整数 target 的排列组合个数return dp[target]

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四、卡码网70. 爬楼梯（进阶版）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 ：
输入描述:输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述:输kama出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入：3 2
输出：3
提示信息：
数据范围：
1 <= m < n <= 32;
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

这其实是一个完全背包问题。1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

代码实现

def climbing_stairs(n, m):# 初始化 dp 数组，dp[i] 表示爬到 i 个台阶有 dp[i] 种方法dp = [0] * (n + 1)  # 楼梯一共有 n 个台阶，索引从 0 到 ndp[0] = 1  # 爬到 0 阶的方法只有一种，即不爬# 遍历背包容量（即总台阶数）for j in range(1, n + 1):  # j 表示当前目标台阶数，从 1 到 n# 遍历每一种台阶步数（即可以选择的步数）for i in range(1, m + 1):  # i 表示每次可以爬的台阶数，从 1 到 mif j >= i:  # 如果当前目标台阶数 j 大于等于步数 idp[j] += dp[j - i]  # 累加 dp[j - i]，因为从 j - i 爬到 j 是一种可能的方案return dp[n]  # 返回爬到 n 阶的方法数if __name__ == '__main__':# 从输入中获取 n 和 mn, m = list(map(int, input().split(' ')))# 打印结果，即爬到 n 阶的方法数print(climbing_stairs(n, m))

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