besier打断和升阶，高阶性质

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问题描述

对besier曲线在u处打断，生成两条besier曲线
对besier曲线升阶处理

bezier高阶性质

求导推导

$\boldsymbol P(t) = \displaystyle \sum_{i=0}^nB_i^n(t)\boldsymbol b_i$

$B_i^n(t)=\left (\begin{array}{l}n \\i \end{array} \right)t^i(1-t)^{n-i}$

矩阵表示

$\begin {bmatrix} B_0^n & B_1^n &\cdots& B_n^n \end{bmatrix} \begin {bmatrix} \boldsymbol b_0\\\boldsymbol b_1\\\vdots\\\boldsymbol b_n\end{bmatrix}$

只要对每个系数求导即可

$B_i^n(t)'=i\left (\begin{array}{l}n \\i \end{array} \right)t^{i-1}(1-t)^{n-i}-(n-i)\left (\begin{array}{l}n \\i \end{array} \right)t^i(1-t)^{n-i-1} \cdots (1)$

对组合数展开可以发现

$B_i^n(t)'=n\left (\begin{array}{cl}n-1 \\i-1 \end{array} \right)t^{i-1}(1-t)^{n-i}-n\left (\begin{array}{cl}n-1 \\i \end{array} \right)t^i(1-t)^{n-i-1}=nB_{i-1}^{n-1}(t)-nB_i^{n-1}(t)$

从(1)式可知，当i=0时， $B_{i-1}^{n-1}(t)=0$

$设q_i = B_{i}^{n-1}(t)$

$\boldsymbol P'(t)=n[q_0\ \cdots \ q_{n-1}] \begin {bmatrix} \boldsymbol b_1\\\vdots\\\boldsymbol b_n\end{bmatrix}+n[q_0\ \cdots \ q_{n-1}] \begin {bmatrix} -\boldsymbol b_0\\\vdots\\-\boldsymbol b_{n-1}\end{bmatrix}$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}B_i^{n-1}(t)(\boldsymbol b_{i+1}-\boldsymbol b_i)$

上式一共是n项，所以n阶bezier曲线的导数可以由n-1阶bezier曲线得到

控制点如下

$D_i = n(b_{i+1}-b_i), i\in[0, n-1]$

导数的计算也可以由De Casteljau algorithm 来算

端点导数

将t=0, t=1代入公式，发现首末端的导数刚好是初始两点和末端两点连线的n倍。

高阶导数

参数曲线的d阶导为在d-1阶导数基础上再求一次导。

$\boldsymbol P''(t)= \displaystyle \sum_{i=0}^{n-2}B_i^{n-2}(t)((n-1)(\boldsymbol D_{i+1}-\boldsymbol D_i))$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-2}B_i^{n-2}(t)(\boldsymbol b_{i+2} -2\boldsymbol b_{i+1}+\boldsymbol b_i)$

从u处打断

根据 De Casteljau algorithm 的过程可以观察到。

每次迭代后，数组中的第1个点和最后一个点，分别是左右子段的控制点。


/*!*\brief Bezier曲线的打断
*\ param const std::vector<Point> & A 控制点序列
*\ param double u 打断处的参数 (0,1)
*\ param std::vector<Point> & cv_left 打断后前半部分的控制点
*\ param std::vector<Point> & cv_right 打断后后半部分的控制点
*\ Returns:   std::pair<List2f, List2f>
*/
std::pair<List2f, List2f> subDevide(const std::vector<Eigen::Vector2f> &A, float u)
{List2f cv_left = A;List2f cv_right = A;if(A.size()<2)return {cv_left, cv_right};int p = A.size()-1;//p次迭代for (int i = 0;i<p;++i){for (int j = 0;j<p - i;++j)cv_right[j] = (1.0 - u)*cv_right[j] + u*cv_right[j + 1];//左侧控制点为每次迭代的首点cv_left[i + 1] = cv_right[0];}return {cv_left, cv_right};
}

升阶

设原来曲线控制点为b0, b1, … bn n+1个控制点，

升阶后的点为c0, c1, … cn, cn+1 n+2个控制点

c0=b0, cn+1=bn

中间控制点

$c_i = \frac {i}{n+1}b_{i-1} + (1+\frac{i}{n+1})b_i, i \in[1,n]$


List2f degreeElevation(const std::vector<Eigen::Vector2f> &A)
{int n=A.size(); // 为公式中的n+1List2f res (n+1);res.front() = A[0];res.back() = A.back();for(int i=1;i<n;++i) {float ratio = 1.0*i/n;res[i] = ratio *A[i-1] + (1-ratio)*A[i];}return res;
}