用Python实现时间序列模型实战——Day 2: 时间序列的基本统计量

一、学习内容

1. 自相关函数 (ACF) 与偏自相关函数 (PACF)

自相关函数 (ACF)：

自相关函数用于衡量时间序列在不同时间滞后下的相关性。它描述了序列与自身滞后版本之间的相关性，滞后时间越长，相关性通常会减弱。自相关函数的计算公式为：

$\text{ACF}(k) = \frac{\sum_{t=k+1}^{N} (x_t - \bar{x})(x_{t-k} - \bar{x})}{\sum_{t=1}^{N} (x_t - \bar{x})^2}$

其中：

$x_t$ 是时间序列在时间 ttt 的值。
$\bar{x}$ 是序列的均值。
$k$ 是滞后阶数。
$N$ 是序列的长度。

偏自相关函数 (PACF)：

偏自相关函数是排除了中间滞后阶数影响的自相关函数，主要用于识别自回归模型 (AR) 的阶数。简单来说，PACF 测量的是在考虑所有介于两点之间的影响后，两个不同滞后时间点之间的净相关性。对于 PACF 的定义，可以表示为：

$\text{PACF}(k) = \text{corr}(x_t, x_{t-k} \mid x_{t-1}, \dots, x_{t-k+1})$

其中， $\text{corr}(x_t, x_{t-k} \mid x_{t-1}, \dots, x_{t-k+1})$ 表示在排除了中间滞后项的影响后，时间 $t$ 和时间 $t-k$ 的值之间的相关性。

2. 时间序列的平稳性检验（ADF 检验）

平稳性：

平稳时间序列的统计性质（均值、方差、自相关等）随着时间保持恒定。
非平稳时间序列通常包含趋势、季节性或其他随时间变化的模式，可能导致模型的预测效果不佳。

ADF 检验：

增强型 Dickey-Fuller (ADF) 检验是一种用于检验时间序列是否平稳的统计测试。，其检验统计量的计算公式为：

$ADF = \frac{\hat{\phi} - 1}{SE(\hat{\phi})}$

其中：

$\hat{\phi}$ 是时间序列的回归系数估计值。
$SE(\hat{\phi})$ 是 $\hat{\phi}$ 的标准误。

ADF 检验的原假设是序列存在单位根（即非平稳），检验的结果给出是否拒绝该假设。

3. 白噪声与随机游走模型

白噪声：

白噪声是一个均值为零、方差为常数的时间序列，序列的自相关函数为零（除了滞后为零时的点）。白噪声模型的特性可以用来检测时间序列模型的残差是否为白噪声，以判断模型是否充分捕捉了数据的模式。白噪声的公式表示为：

$x_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$

其中：

$\text{WN}(0, \sigma^2)$ 表示均值为 0、方差为 $\sigma^2$ 的白噪声过程。

随机游走模型：

随机游走是一种特殊的非平稳时间序列模型，序列值等于前一时刻的值加上一个随机误差项。随机游走模型可以用来模拟一些金融时间序列，如股票价格。随机游走模型的一般形式为：

$x_t = x_{t-1} + \epsilon_t$

其中：

$x_t$ 是时间 ttt 的序列值。
$x_{t-1}$ 是时间 $t-1$ 的序列值。
$\epsilon_t$ 是独立且同分布的随机误差项，通常假设为均值为 0 的白噪声。

二、实战案例

我们将使用 statsmodels 库对时间序列数据进行 ACF 和 PACF 的计算及可视化，并进行平稳性检验。

1. 数据加载与可视化

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf, adfuller
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf# 加载时间序列数据集
url = "https://raw.githubusercontent.com/jbrownlee/Datasets/master/airline-passengers.csv"
data = pd.read_csv(url, parse_dates=['Month'], index_col='Month')# 绘制时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data['Passengers'], label='Passengers')
plt.title('Monthly Number of Airline Passengers')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

运行结果：

程序解释：

载入航空乘客数据集，并绘制时间序列图，观察数据的趋势、季节性等特征。

2. ACF 和 PACF 计算与可视化

# 计算并绘制 ACF 和 PACF
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(121)
plot_acf(data['Passengers'], lags=40, ax=plt.gca())
plt.title('Autocorrelation Function (ACF)')plt.subplot(122)
plot_pacf(data['Passengers'], lags=40, ax=plt.gca(), method='ywm')
plt.title('Partial Autocorrelation Function (PACF)')plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果：

程序解释：

使用 plot_acf 和 plot_pacf 函数计算并绘制自相关函数 (ACF) 和偏自相关函数 (PACF)，帮助识别数据中的相关性结构。

3. 平稳性检验（ADF 检验）

# 进行 ADF 平稳性检验
result = adfuller(data['Passengers'])
print('ADF Statistic:', result[0])
print('p-value:', result[1])
for key, value in result[4].items():print(f'Critical Value ({key}): {value}')

运行结果：

ADF Statistic: 0.8153688792060597
p-value: 0.9918802434376411
Critical Value (1%): -3.4816817173418295
Critical Value (5%): -2.8840418343195267
Critical Value (10%): -2.578770059171598

程序解释：

使用 adfuller 函数进行 ADF 检验，判断时间序列是否平稳。
检验结果包括 ADF 统计量、p 值、临界值（分别对应 1%、5%、10% 的显著性水平）。

4. 白噪声测试

# 白噪声测试
white_noise = np.random.normal(size=len(data))
plt.figure(figsize=(12, 6))
plot_acf(white_noise, lags=40)
plt.title('ACF of White Noise')
plt.show()

运行结果：