1.题目

编程实现ElGamal的加密和解密，假设用户A选择素数p=11和本原根g=2，并且选择私钥α=5，输出A的公钥；若用户B向用户A发送消息m=6，随机数k=7，输出对该消息加密后的密文，以及对密文进行解密的明文。

2.文字版题解

(1)求A的公钥

ElGamal的公钥=（选择的素数（p）、本原根（g）、由p,g,α运算得到的一个数（y））

ElGamal的私钥=选择的私钥（α）

A的公钥,只剩y不知道，则：

y=g*α mod p=2*5 mod 11=10

故A的公钥=（11，2，10）

(2)加密后的密文

公式：

r=g^k mod p

s=m*(y^k) mod p

解释：

（r，s）=加密得到的密文

m:消息发送方发送的消息

k:消息发送方选择的随机数

计算：

r=g^k mod p=2^7 mod 11=7

s=m*(y^k) mod p=6*10^7 mod 11=5

故加密得到的密文=（7，5）

(3)解密的明文

公式：   明文=   

注：括号上的-1是指括号内容mod p的逆元，不会计算题目数值逆元的看后面的教程

计算：

故解密得到的明文是6

附.如何求逆元

定义：对于正整数a和m，如果有ax≡1(mod m)，那么把这个同余方程中的x最小正整数解叫做a模x的逆元

解法：

先化简原数：

1.ax≡1(modm)带入题目数值

（7^5）* x  ≡ 1 (mod 11)

2.因为：a*b mod c ≡(a mod c)*(b mod c) mod c

也就是相乘的几个数分别可以替换为‘原数mod被模数’

3.如：10*6 mod 2 ≡5*3 mod 2≡15 mod 2

4.故：

7^5mod11

≡7*7*7*7*7 mod 11

≡49*49*7mod11

≡5*5*7mod11

≡25*7mod11

≡3*7mod11

≡10mod11

化简后转为求10^(-1) mod 11（即10模11的逆元）

即求x:

10* x  ≡ 1 (mod 11)

1.代入法：

把数带入一个个尝试

2.辗转相除法：

举例求7^(-1) mod 25（即7模25的逆元）:

即求x:

7* x  ≡ 1 (mod 25)

（1）把要操作的数中大的放前面

这里是（25，7）

（2）大数(25)=小数(7)乘一个尽可能大的数加上余数（>=1）

25=3*7+4

 (3)更新值并重复（2）：大数的值是原来的小数（7），小数的值是被减剩余值（4）

7=1*4+3

4=1*3+1

（4）当被减剩余值为1时，停止更新并变换格式

如上述4=1*3+1中被减剩余值为1，变换格式为：1=4-3（省略了1*3中的1）

（5）从下到上（除最后一个）把之前剩余值代表式带入新式子

目的是只剩原始的两个操作数

7=1*4+3得到：剩余值3=7-4 带入 1=4-3 得：1=4-（7-4）=4*2-7

25=3*7+4得到：剩余值4=25-3*7 带入 1=4*2-7 得 1=（25-3*7 ）*2-7=25*2-7*7

（6）转换所求原式子格式

7* x  ≡ 1 (mod 25)  转换为 1=7*x-25*b

注：

r≡a mod n可以表示为：a = qn + r，其中0 ≤ r < n，q是整数商

(7)若x为正数，则其为逆元；若x为负数，则x mod p为逆元,p是原式子所模的数

对比（5）（6）结果：

1=25*2-7*7

1=7*x-25*b

可知x=-7

故逆元=（-7）mod 25 =18

求10^(-1) mod 11（即10模11的逆元）

(1)11=10*1+1

(2)1=11-10

(3)逆元：(-1)mod11=10

3.相应代码

注释格式：序号（代码顺序）+注解

(1)求A的公钥

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {//1.输入基本数据Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("输入用户A选择的素数：");int p = sc.nextInt();System.out.println("输入用户A的本原根：");int g = sc.nextInt();System.out.println("输入用户A选择的私钥：");int α = sc.nextInt();//4.计算并输出公钥int y=publicKey(p,g,α);}//2.求公钥的方法public static int publicKey(int p,int g,int α){//3.Math.floorMod是用来取模的方法int y=Math.floorMod(g*α,p);System.out.println("公钥是（"+p+","+g+","+y+"）");return y;}
}

(2)求加密后的密文

//下面代码补充到主函数： //5.输入基本数据System.out.println("输入用户B发送的消息：");int m = sc.nextInt();System.out.println("输入用户B选择的随机数：");int k = sc.nextInt();//6.创建存储密文的变量int r=0,s=0;//9.计算密文并输出r=ciphertext_r(m,k,g,p,y,r);s=ciphertext_s(m,k,g,p,y,s);System.out.println("密文是：（"+r+","+s+"）");
//上面代码补充到主函数： //下面是新方法：//7.求密文并输出的方法，不并作一个方法是需要返回两个变量public static int ciphertext_r(int m,int k,int g,int p,int y,int r) {//8.Math.pow(x, y)是求指数的方法,注意pow返回double,floorMod参数是intr=Math.floorMod((int)Math.pow(g, k),p);return r;}public static int ciphertext_s(int m,int k,int g,int p,int y,int s) {s=Math.floorMod((int)(m*Math.pow(y, k)),p);return s;}

(3)解密明文

//下面代码补充到主函数： //10.创建存储逆元的变量int x=1;//13.求逆元x=opposite(10, p, x);//14.创建存储明文的变量int clear =0;//18.计算明文并输出clear=clearText( s, r, α, p, x);System.out.println("明文是："+clear);
//上面代码补充到主函数： //下面是新方法//15.求明文的方法public static int clearText(int s,int r,int α,int p,int x) {//16.求逆x=opposite((int)Math.pow(r,α),p,x);//17.返回输出明文return Math.floorMod(s*x,p);}//11.求逆元的方法，代入法public static int opposite(int a,int m,int x) {//12.从x=1开始循环判断是否满足ax≡1(mod m)，满足则退出while(true){if(Math.floorMod(a*x,m)==1){break;}x++;}return x;}

4.完整代码

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {//1.输入基本数据Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("输入用户A选择的素数：");int p = sc.nextInt();System.out.println("输入用户A的本原根：");int g = sc.nextInt();System.out.println("输入用户A选择的私钥：");int α = sc.nextInt();//4.计算并输出公钥int y=publicKey(p,g,α);//5.输入基本数据System.out.println("输入用户B发送的消息：");int m = sc.nextInt();System.out.println("输入用户B选择的随机数：");int k = sc.nextInt();//6.创建存储密文的变量int r=0,s=0;//9.计算密文并输出r=ciphertext_r(m,k,g,p,y,r);s=ciphertext_s(m,k,g,p,y,s);System.out.println("密文是：（"+r+","+s+"）");//10.创建存储逆元的变量int x=1;//13.求逆元x=opposite(10, p, x);//14.创建存储明文的变量int clear =0;//18.计算明文并输出clear=clearText( s, r, α, p, x);System.out.println("明文是："+clear);}//15.求明文的方法public static int clearText(int s,int r,int α,int p,int x) {//16.求逆x=opposite((int)Math.pow(r,α),p,x);//17.返回输出明文return Math.floorMod(s*x,p);}//11.求逆元的方法，代入法public static int opposite(int a,int m,int x) {//12.从x=1开始循环判断是否满足ax≡1(mod m)，满足则退出while(true){if(Math.floorMod(a*x,m)==1){break;}x++;}return x;}//7.求密文并输出的方法，不并作一个方法是需要返回两个变量public static int ciphertext_r(int m,int k,int g,int p,int y,int r) {//8.Math.pow(x, y)是求指数的方法,注意pow返回double,floorMod参数是intr=Math.floorMod((int)Math.pow(g, k),p);return r;}public static int ciphertext_s(int m,int k,int g,int p,int y,int s) {s=Math.floorMod((int)(m*Math.pow(y, k)),p);return s;}//2.求公钥的方法public static int publicKey(int p,int g,int α){//3.Math.floorMod是用来取模的方法int y=Math.floorMod(g*α,p);System.out.println("公钥是（"+p+","+g+","+y+"）");return y;}
}

5.代码解果