微积分

微分是把整体分拆为小部分来求它怎样改变

积分是把小部分连接在一起来求整体有多大，可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。

lim极限

函数f(x) -> Q(x) = y：x变量，f函数，Q(x)函数体（多项式），y返回值

对于一个函数f(x)，有时候无法根据变量x，得到返回值，但可以求近似结果:

(x->a) lim f(x) = L

当变量x趋近于（绝对值）a时，函数f(x)趋近于（极限是）L

求极限的方式：

一、代入变量的值

• 直接带入x到Q(x)
• 取临近值不断逼近答案

 例：

二、代数因式分解

可以将Q(x)转化为因式形式，从而带入求极限

因数：两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数。

因式分解：将多项式Q(x)转化为因式形式

1·找到最大公因式：

比如求和+的多项式，找到公共因子

2·转化为恒等式

比如：Q(x) =  4x^2  -  9  = (2x)^2 - (3)^2   

->根据(a+b)(a-b) = a^2 - b^2  = (2x+3)(2x-3)

步骤：分解为同类项-》直到不能再分解为止

三、共轭

共轭：是把两个项之间的正负号倒转：3x + 1 -》 3x - 1

如果Q(x)是分式形式，上下都乘以 分子/母 的共轭

四、无穷，有理函数和极限

正无穷：没有极限的正数

-  负无穷：没有极限的负数

当x->时，求极限的方法：看多项式Q(x)的最高指数项

• //非分数形式
• 如果指数>=0,极限/ -（如果符号为负）
• 如果指数<=0,极限 0
• //分数形式
• 如果分子 < 分母指数，分子为1，极限为0
• 如果分子 > 分母指数，极限 / -（如果符号为负）
• 如果分子 == 分母指数，极限为最高指数项的系数的商

理解“趋近”和证明

趋近：无关正负性，是绝对值

当变量x越趋近于a时（|x−a|），函数f(x)越趋近于L（|f(x)−L|）

证明：

希腊字母δ"delta"，ε   “epsilon"

我们用字母δ 表示|x−a|要小于的某个值，用ε 表示|f(x)−L|要小于的某个值

因为绝对值一定>=0，且不看完全==情况，因此

对于任何δ  >0，ε有>0，从而使得当 0<|x−a|< δ  时|f(x)−L|<  ε

如果存在δ 和ε的比例关系，满足以上条件，则可证明lim成立

比如：

a = 3 , L = 10 

需要根据0<|x−3|<δ，得到|(2x+4)−10|<ε

• 展开移项:|x−3|<ε<2
• 当δ = ε<2时，移项可的|(2x+4)−10|<ε，因此lim成立

是否存在极限？

如果存在这样的情况， x趋近于a时，极限不存在

但可以表示为，a的左边极限，和右边极限的形式

也就是，如果有两种极限结果，则说明不存在极限

例：

导数

导数可以求解单调性，极值点，凹凸性，线性近似等

一次导数 / 一次微分：

两点斜率：(y2 - y1) / (x2 - x1)

函数某一点的局部变化率：

极限表示：当增量Δx趋近于0时（称为dy,dx是无穷小的)，函数（y的增量 / x的增量）的极限

导数表示：f’(x)= dy/dx  ,f(x) 的导数等于 dy / dx，这个符号 ’ 的意思是 "的导数"，也可以记为d / dx

几何意义：表示函数值随自变量x变化的快慢程度（切线/坡度）

求导：

求导示例：

给定一个函数，求导数？将公式中fn替换为多项式形式，求得结果2x

也就是对于函数任何一点的坡度是2x 

常见函数的导数：

导数法则：

二次导数 / 二次微分:

二次导数:是函数的导数的导数

f''(x) = d^2y / d^2x   d(dy / dx) / dx

如何求二次微分结果？

先求函数的导数，再求导数的导数

理解：

一次导数（即斜率）描述了函数在某一点上随x变化的快慢程度，斜率越大变化越快

二次导数就是描述这个斜率本身如何随x变化的，衡量了函数曲线在某一点上“弯曲”的程度

• 如果二次导数大于0：说明斜率在增加，即函数曲线在该点附近是“凹”的（开口向上）。
• 如果二次导数小于0：说明斜率在减小，即函数曲线在该点附近是“凸”的（开口向下）。
• 如果二次导数等于0：则可能表示函数在该点附近有拐点，但需要进一步分析来确定。

形象理解：

在物理学中，速度可以看作是位置随时间变化的斜率，即求导数

而加速度则是速度随时间变化的斜率，即二次导数，求导的速度，再次和时间x求导

可微分，不可微分

可微分：存在导数

积分

是微分学的逆过程，主要研究如何由已知的函数（被积函数）和积分区间来求取一个数值（定积分）或另一个函数（不定积分）。积分在物理中常用于计算面积、体积、质量、功、能量等。

• 不定积分：找到一个函数，使得该函数在某区间内的导数为给定的函数。
• 定积分：在给定区间上，被积函数与坐标轴围成的图形的面积（或代数和）。

微分方程

是求导数的过程，也是函数在某一点附近的变化量的线性近似，