3. 函数极限与连续函数

3.4 闭区间上的连续函数

3.4.4 中间值定理

【定理3.4.4】若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则它一定能取到最大值$M$与最小值$m$之间的任何一个值。$M=\max f(x),x\in [a,b],m=\min f(x),x\in [a,b]$.
【证】由最值定理，$\exists \xi ,\eta \in [a,b],f(\xi )=m,f(\eta )=M$，不妨设$\xi <\eta ,\forall c\in [m,M]$，令$g(x)=f(x)-c$
$g(\xi )=f(\xi )-c=m-c<0$
$g(\eta )=f(\eta )-c=M-c>0$
$g(x)$在$[\xi ,\eta ]\subset [a,b]$上连续
则由零点存在定理，$\exists \zeta \in [\xi ,\eta ]\subset [a,b]$，使得$g(\zeta )=0$
即$f(\zeta )=c$
【注】此定理在反函数连续性定理中出现过：若$f(x)$在$[a,b]$上严格单调增加且连续，$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$，则反函数$f^{-1}$是在$[\alpha ,\beta ]$上连续，在讲这个定理的时候证明了$f$的值域是$[\alpha ,\beta ]$，如果证明过中间值定理，前面一步证明值域的就用中间值定理。

3.4.5 一致性连续

设$\text{X}$是某一区间（可以是开区间，闭区间，半开半闭区间，有限无限区间），$f(x)$在$\text{X}$上连续：是指$f(x)$在$\text{X}$上每一点都连续（在端点指右连续或左连续），$\forall x_0\in \text{X},\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \text{X}(|x-x_0|<\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
$\delta$与$\epsilon$有关也与$x_0$有关，即$\delta =\delta (x_0,\epsilon )$，能否找到$\forall x_0$适用的$\delta$？
若能找到这样的$\delta >0$，则有$\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon )>0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \text{X}(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$
问题：这样的$\delta (\epsilon )$是否一定能找到？
答：不一定。
令所有适用的$\delta (x_0,\epsilon )$中的最大者，（或上确界）为${\delta }^{\ast }(x_0,\epsilon )$
存在$\delta (\epsilon )>0\iff \underset{x_0\in \text{X}}{\inf }{\delta }^{\ast }(x_0,\epsilon )>0$（因为可能下确界是0）
教材描述的比较详细：

【定义3.4.1】设$f(x)$在区间$\text{X}$上定义，若对于任意给定的$\epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \text{X}(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$，则$f(x)$在区间$\text{X}$上一致连续。（此处可结合宋浩老师的视频）

• $f(x)$在$\text{X}$上一致连续$\Rightarrow f(x)$在$\text{X}$上连续（反过来不一定）

【例3.4.3】证明：$y=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$上一致连续。
【证】$|\sin x^{\prime }-\sin x^{\prime \prime }|=2|\cos \frac{x^{\prime }+x^{\prime \prime }}{2}\sin \frac{x^{\prime }-x^{\prime \prime }}{2}|\le 2\cdot 1|\frac{x^{\prime }-x^{\prime \prime }}{2}|=|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|$
$\forall \epsilon >0$取$\delta =\epsilon ,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|\sin x^{\prime }-\sin x^{\prime \prime }|\le |x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\epsilon$
则$y=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$上一致连续。


【例3.4.4】证明：$f(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)$非一致连续。
【证】设$x_0\in (0,1),\forall \epsilon >0$
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}|<\epsilon$
即$-\epsilon +\frac{1}{x_0}<\frac{1}{x}<\epsilon +\frac{1}{x_0}$
亦即$\frac{x_0}{1+x_0\epsilon }<x<\frac{x_0}{1-x_0\epsilon }$
亦即$-\frac{x_0^2\epsilon }{1+x_0\epsilon }<x-x_0<\frac{x_0^2\epsilon }{1-x_0\epsilon }$
要保证$|x-x_0|<\delta$，则
δ ∗ ( x 0 , ε ) = min ⁡ { x 0 2 ε 1 + x 0 ε , x 0 2 ε 1 − x 0 ε } = x 0 2 ε 1 + x 0 ε \delta^{*}(x_0,\varepsilon)=\min\{\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon},\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1-x_{0}\varepsilon}\}=\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon} δ∗(x0​,ε)=min{1+x0​εx02​ε​,1−x0​εx02​ε​}=1+x0​εx02​ε​
$\underset{x_0\in (0,1)}{\inf }\frac{x_0^2\epsilon }{1+x_0\epsilon }=0$（当$x_0$很靠近0的时候，趋于0）
即不能找到与$x_0$无关的$\delta (\epsilon )>0$
即$f(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)$非一致连续。
【注】如果函数形式再复杂一些，这个方法做很难做。


【定理3.4.5】设$f(x)$在区间$\text{X}$上定义，则$f(x)$在$\text{X}$上一致连续的充要条件是：对任意给定的$x_n^{\prime },x_n^{\prime \prime }$，只要$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=0$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime }))=0$
【证】先证必要性，由$f(x)$在$\text{X}$上一致连续可知，$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \text{X}(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\delta$
由$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=0$，则上述$\delta >0,\exists N,\forall n>N:|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|<\delta$
则$|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })-0|=|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|<\epsilon$
即$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime }))=0$
再证充分性，用逆否命题，即证：若$f(x)$在$\text{X}$上非一致连续，则可找到 { x n ′ } , { x n ′ ′ } , x n ′ , x n ′ ′ ∈ X , lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \{x_{n}'\},\{x_{n}''\},x_{n}',x_{n}''\in\textbf{X},\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}'-x_{n}'')=0 {xn′​},{xn′′​},xn′​,xn′′​∈X,n→∞lim​(xn′​−xn′′​)=0，但$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime }))\ne 0$
$f(x)$在$\text{X}$上一致连续：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \text{X}(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$
则其否定命题为$\exists \epsilon >0,\forall \delta >0,\exists x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \text{X}(|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta ):|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|\ge {\epsilon }_0$
取$\delta ={\delta }_n=\frac{1}{n},\exists x_n^{\prime },x_n^{\prime \prime }\in \text{X}(|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|<\frac{1}{n}):|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|\ge {\epsilon }_0$
成立$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=0$，但$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime }))\ne 0$
由于逆否命题和原命题等价，充分性得证。

下面再给几张一致连续的几何图形帮助理解：


来自视频：一致连续的通俗解释