前缀和

什么是前缀和？用在哪里？有什么好处？

前缀和是在反复求一个序列中不同区间处的元素之和。

例如有以下一个数组：1，2，3，4，5

我们要求a[2]~a[4]（不包括a[2]）的元素之和，需要写一个循环。

for (int i = x; i <= y; i++) {sum += a[i];
}

但是这样的算法时间复杂度很高，高达O(n^2)，当数据规模大时，会超时。

而前缀和可以完美解决这个问题。

for (int i = 1; i <= n; i++) {sum[i] = sum[i - 1] + a[i]
}
cout << sum[y] - sum[x] << endl;

sum[i]就是a[0]+a[1]+...+a[i]，在此样例中，sum = [1, 3, 6, 10, 15]

当我们求a[2]~a[4]的和时，就可以输出sum[4] - sum[2]。

一维前缀和

题目描述

输入长度为 n 的数组 A ，求数组 A 中所有长度为 m 的区间里，区间和最大的那个区间的区间和。(数组中可能出现负数)

输入格式

第一行两个整数 n 和 m
第二行给出 n 个整数，第i个整数代表Ai
1<=n<=10^5，1<=m<=n，-10000<=Ai<=10000

输出格式

输出一行答案，最大的区间长度为 m 的区间和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;int a[100005], s[100005];s[0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];s[i] = s[i - 1] + a[i];}int mx = 0x80000000;for (int i = m; i <= n; i++) {mx = max(mx, s[i] - s[i - m]);}cout << mx << endl;return  0;
}

二维前缀和

题目描述

小 Q 买下了一片农场，并在其中种下了 n 行 m 列玉米。每株玉米的产量各不相同，减掉成本之后有盈有亏。具体而言，第 i 行第 j 列的玉米的收益为 ai,j，若 ai,j<0 则意味着这株玉米亏本了。现在小 Q 想知道玉米地的收益如何。小 Q 给了你 q 组询问，每组询问都给出四个数 x1, y1, x2, y2，需要你求出行从 x1 到 x2、列从 y1 到 y2 这个矩形区域内玉米的收益之和。

输入格式

第一行输入三个正整数 n,m,q。接下来 n 行，每行 m 个整数，分别表示每一株玉米的收益。接下来 q 行，每行 4 个整数 x1, y1, x2, y2，含义如上。

输出格式

输出 q 行，每行一个数，表示所询问的矩形区域内的玉米收益之和。

sum[x][y] = (1, 1)(x, y)矩阵中的元素和。

sum[x][y] = sum[x - 1][y] + sum[x][y - 1] - sum[x - 1][y - 1]

求x1, y1~x2, y1的公式为：

sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][x2 - 1]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, m, q, a[3003][3003], s[3003][3003];int main() {memset(s, 0, sizeof (s));cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {cin >> a[i][j];s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];}}while (q--) {int _x1, _y1, _x2, _y2;cin >> _x1 >> _y1 >> _x2 >> _y2;cout << s[_x2][_y2] - s[_x1 - 1][_y2] - s[_x2][_y1 - 1] + s[_x1 - 1][_y1 - 1]<< endl;}return 0;
}

学习完前缀和建议去学差分，我的主页里会有。

如果有不当之处，请指出。