【学习笔记】基于 Wasserstein距离的分布鲁棒优化

衡量不同分布间距离

在构建模糊集的方式上，除了利用矩信息之外，另一种思路是衡量真实分布与经验分布之间的距离。在这种情况下，我们以经验分布为中心，将与经验分布不超过某一距离的所有分布纳入模糊集中。于是，如何定义两个概率分布间的距离成了关键，这一度量不仅需要有统计学意义，还应尽量让相应的分布鲁棒优化模型可处理。

Wasserstein 度量

目前很受欢迎的一种度量方式是 Wasserstein 距离。

分布鲁棒优化与机器学习

电力系统方面应用

在电力系统中，分布鲁棒优化(distributionallyrobust optimization，DRO)是一种既不需要假设具体概率分布又不完全忽略概率信息的方法，可以针对性地用于解决由风光不确定性引起的电力系统安全问题。

基于Wasserstein距离的分布鲁棒在风光不确定方面的建模，推荐给大家一个研究文献《Distributionally Robust Chance-Constrained Approximate AC-OPF with Wasserstein Metric 》，在该文献中，给出了Wasserstein 球半径的计算公式：

其中，

球半径计算python代码实现如下：

        def obj_c(alpha: float)-> float:             # test = np.absolute(self.thet)            test = np.abs(self.samples-self.mu)             J = np.sqrt(  np.absolute( (1/(2*alpha))*(1+np.log((1/self.m)*np.sum(np.exp(alpha*test**2)))))  )                        # Artificial constraint (for BFGS):            if alpha<0:                J=100
            return J
        if self.known_support:            Dd = np.sqrt(2)*self.support         else:            alphaX = minimize(obj_c, x0=1, method='BFGS', tol=1e-8)            C = 2*obj_c(alphaX.x)            Dd = C
        self.epsilon = Dd*np.sqrt((2/self.m)*np.log(1/(1-self.beta)))

很多同学比较困惑，虽然知道了Wasserstein球半径，但是仍然不清楚如何求解风光等不确定变量对系统的影响。因为还有更大的一个“弯”需要搞清楚，就揭开了分布鲁棒的“神秘面纱”。

风光等不确定性变量存在一个样本集，将该样本集进行标准化处理，具体操作方式如下：

对应的示意图如下：

该转换过程对应的python代码如下：

        if self.n==1:            SIG = (self.samples.std())  #**2            sigi = SIG**(-1)            mu = np.mean(self.samples)            # thet = np.expand_dims(self.samples - mu, axis=1).T            thet = np.expand_dims(np.multiply(self.samples - mu, sigi), axis=1).T        else:            SIG = (self.samples.std(axis=1))  #**2            sigi = SIG**(-1)            mu = np.reshape(np.mean(self.samples, axis=1), (self.n, 1))            thet = np.multiply(self.samples - mu, sigi[:,np.newaxis])
        self.mu = mu        self.SIG = np.reshape(SIG, (self.n, 1))        self.sigi = np.reshape(sigi, (self.n, 1))        self.thet = thet

利用分布鲁棒数学理论研究成果（详见文献《Distributionally robust stochastic optimization with wasserstein distance》）：