关于Zipf定律与TF—IDF的一个实践

在这篇文章中，我将通过机器学习中的线性回归来计算zipf定律中一个经验常数alpha，还会画TF-IDF的图像，此外还将简单介绍下与zipf、TF-IDF有关的知识。

在之前的一篇文章中我曾介绍过TF-IDF，但之后我又阅读了Ricardo Baeza-Yates和Berthier Ribeiro-Neto所写的《Modern Information Retrieval》，发现其中所讲述的有关IF-IDF部分的内容与我之前了解的有许多不同，所以便又写了这篇文章。

一、 Zipf定律

1.1 介绍

Zipf's Law 是一种经验观察到的语言现象，它最初是由语言学家 George Kingsley Zipf 在 20 世纪初提出的。虽然 Zipf's Law 主要在语言学领域被讨论，但它也在自然语言处理（Natural Language Processing, NLP）和信息检索（Information Retrieval, IR）等领域得到了广泛应用。在这些领域中，Zipf's Law 被用来研究词汇频率分布，并且在建模文本数据的统计特性方面发挥着重要作用。

1.2 概念

Zipf's Law 描述了词汇的使用频率与其在频率表中的排名之间的关系。按照 Zipf's Law，最常用的词汇出现频率最高，而随着词汇排名的降低，其出现频率也会迅速下降。

1.3 表达式

设 $^{n_{i}}$ 是索引项 $k_{i}$ 的文档频率。对所有的索引项的文档频率按降序排列，并设n(r)是第r个项的文档频率，那么根据Zipf定律就会有： $n(r) \sim r^{-\alpha }$

其中，α是经验常数。

那么，我们就可以将之改写为： $n(r)=Cr^{-\alpha }$

其中的C同样是经验常数。在英语中可以用α=1来提供一种简单的近似，而在中文里，本篇文章正是要去计算它。

在我们先取α等于1等情况下，我们可以对等式左右同时取log，变形为：

$logn(r)=logC-logr$

其中的log都是以2为底。

在之后还可以变形，这样就得到了IDF的公式：

$IDF_{i}=log\frac{N}{n_{i}}$

其中的IDFi称为索引项ki的反比文档频率。（关于TF的表达式一会再说）

1.4 python计算

接下来，我就将用python的线性回归模型来计算α在中文中的大小，注意，因为我引用的是一个kaggle中的一个数据集，其规模很大，所以我只在代码中对其进行切片，并只取用一小部分来计算。代码如下：

import jieba
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfTransformer
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer'''文本预处理&停用词库'''
data_normal = pd.read_csv(r"C:\Users\20349\Desktop\ArtificialIntelligence\data_set\dataset\chinese_news.csv")
data = data_normal.iloc[:500]
data.dropna(inplace=True)# 删除有缺失值的行
N = len(data)
# 停用词库
with open(r"C:\Users\20349\Desktop\ArtificialIntelligence\wordCloud\stopWords.txt", 'r', encoding='utf-8') as swfile:stopwords = set(line.strip() for line in swfile)
# 文本预处理函数
def preprocess_text(text,stopwords):words = jieba.lcut(text)after_word = [w for w in words if w not in stopwords]# 处理后return ''.join(after_word)
data = data.copy()
for i in range(1,N):data.iloc[i,-1] = preprocess_text(data.iloc[i,-1],stopwords)'''计算alpha'''
word_str = ''.join(data.iloc[:,-1])
word_ls = list(jieba.cut(word_str))
# 统计词频
word_freq_dict = {word: word_ls.count(word) for word in set(word_ls)}
word_freq_df = pd.DataFrame(list(word_freq_dict.items()), columns=['word', 'frequency'])
# 排序
word_freq_df.sort_values(by='frequency', ascending=False, inplace=True)
# 排名与频率
rank = np.arange(1, len(word_freq_df) + 1)
freq = word_freq_df['frequency'].values
# log
log_rank = np.log(rank)
log_freq = np.log(freq)
# 线性回归
model = LinearRegression()
log_rank = log_rank.reshape(-1, 1)  # 转换为二维数组
model.fit(log_rank, log_freq)
# 计算
alpha = -model.coef_[0]
print("Alpha(α) is:{}".format(alpha))

那么，最后输出的α值是这样的：Alpha(α) is:0.9978112574757174

（关于我引用的文本数据集所在的url如下：新闻联播(Chinese official daily news) (kaggle.com)）

1.5 代码解释

然后是关于代码的一个解释。

我先给出流程图：

可以看见代码分为两部分，一部分是停用词库的文本预处理，一部分是α的计算，关于预处理方面，我们要做的就是单独拿出每一项中的文本内容然后用jieba函数库的函数进行分词处理并将存在于停用词库中的词语直接忽略，将其余部分再重新组合成字符串写入即可；而在α的计算方面，我们需要获得排序于频率，但此时式子是相除的形式，无法引用线性回归的模型，所以我们需要log化，这样就变为相加的形式了，如此带入模型即可求得结果。

二、 TF-IDF

2.1 概念

TF-IDF（Term Frequency-Inverse Document Frequency）是一种在信息检索与数据挖掘领域中广泛使用的统计方法，用于评估一个词在一个文档或语料库中的重要程度。TF-IDF是两个独立度量的乘积：词频（TF）和逆文档频率（IDF）。

2.2 TF

TF是指词频，意思是某个词在文档中出现的次数。一个词出现得越多，通常意味着它对文档内容越重要。然而，一些非常常见的词汇（如“的”、“是”等）可能频繁出现，但并不具有多少实际意义。因此，词频只是一个局部指标，并不能单独决定一个词的重要性。

其表达式如下：

$tf_{i}=\left\{\begin{matrix} 1& + & logf_{i,j}&f_{i,j} >0\\ 0 & & & other \end{matrix}\right.$

2.3 IDF

IDF是指逆文档频率，逆文档频率是一个全局性的度量，它考虑了整个文档集或者语料库的情况。一个词如果在整个文档集合中出现的频次越多，那么该词的IDF就越低；反之则越高。通过这种方式，可以降低常见词汇的影响，增加独特或罕见词汇的重要性。

其表达式在刚才Zipf中已经推出。

2.4 TF-IDF

最流行的权重公式就是将IDF因素于词频结合起来的权重计算方法，公式如下：

$w_{i,j}=\left\{\begin{matrix} (1 &+ &logf_{i,j} ) &* & log\frac{N}{n_{i}} & f_{i,j}>0\\ 0& & & & & otherwise \end{matrix}\right.$

2.5 python计算

代码如下：

# 计算IDF
IDF = {}
for key in total_words_freq.keys():IDF[key] = 0times = 0for i in range(N):if key in contentList[i]:times += 1idf_value = log(N / times, 2)IDF[key] = idf_value# 计算TF-IDF
tf_list = []
idf_list = []
tfidf = []
word_indices = []
number = 1
for key, value in sorted_TF.items():tf_list.append(value)idf_list.append(IDF[key])tfidf.append(value * IDF[key])word_indices.append(number)number += 1# 绘制TF和IDF散点图
X = [log(i+1, 10) for i in range(len(sorted_TF))]
x_index = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
labels = [1, 10, 100, 1000, 10000, 100000]plt.figure()
plt.scatter(X, tf_list, color='red', marker='+', label='TF')
plt.scatter(X, idf_list, color='blue', marker='x', label='IDF')
plt.xticks(x_index, labels)
plt.xlabel("Log Word Number")
plt.ylabel("TF or IDF")
plt.legend()
plt.show()# 绘制TF-IDF图
plt.figure()
plt.scatter(X, tfidf, color='black', marker='+', label='TF-IDF')
plt.xticks(x_index, labels)
plt.xlabel("Log Word Number")
plt.ylabel("TF-IDF")
plt.legend()
plt.show()

代码所绘制出的图像为：