【概率论】泊松分布

泊松分布

若 $X\sim P(\lambda )$ ，则 $P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$

归一性

$\sum_{k=0}^{+\infty }P(x=k)=\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{\lambda ^{k}}{k!}=e^{-\lambda }e^{\lambda }=1$

例子

泊松分布多出现在当X表示一定时间或一定空间内出现的事件的个数这种场合，如在一定时间内某交通路口所发生的事故的个数。

将泊松分布假设为二项分布

假设条件:

（1）泊松分布一般为一段时间或一段空间，在此假设为一段时间，在这段时间内发生事件个数的均值为 $\lambda$

（2）将这段时间分为n份，n很大，以致于每份时间不可能发生两件或更多事件，只能发生1次或0次事件。

（3）所以每份时间发生1次事件的概率为 $\frac{\lambda }{n}$ ，发生0次事件的概率为 $(1-\frac{\lambda }{n})$

（4）每份事件是否发生事件是独立的

泊松分布公式推导

根据上面的假设条件，该泊松分布可假设为二项分布 $X\sim B(n,\frac{\lambda }{n})$ ，根据二项分布公式可得：

$P(x=k)=C_{n}^{k}(\frac{\lambda }{n})^{k}(1-\frac{\lambda }{n})^{n-k}$

显然，当 $n\rightarrow +\infty$ 时，二项分布变回泊松分布，即

$P(x=k)=\underset{n \to +\infty }{lim}C_{n}^{k}(\frac{\lambda }{n})^{k}(1-\frac{\lambda }{n})^{n-k}$

$=\underset{n \to +\infty }{lim}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{\lambda ^{k}}{n^{k}}\cdot (1-\frac{\lambda }{n})^{n-k}$

$=\frac{\lambda ^{k}}{k!}\cdot\underset{n \to +\infty }{lim}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+1)}{n^{k}}\cdot (1-\frac{\lambda }{n})^{n-k}$

$=\frac{\lambda ^{k}}{k!}\cdot\underset{n \to +\infty }{lim}\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \cdot \cdot \frac{n-k+1}{n}\cdot (1-\frac{\lambda }{n})^{n}\cdot (1-\frac{\lambda }{n})^{-k}$